Образцы выполнения работ ргр №1 Тема: «Матрицы и определители»

Задание 1. Для данной матрицы найти обратную и сделать проверку ;

1. 

Рис.1

2. По формуле составим алгебраические

дополнения всех элементов

3. Полученные значения подставим в формулу

;

4. Теперь транспонируем матрицу по правилу замены строк на соответствующие столбцы

;

5. Подставим все полученные значения в формулу обратной матрицы

.

Выполним проверку перемножив начальную матрицу

на обратную .

Задание 2. Найти значение матричного выражения А^тВ-2С².

Транспонируем матрицу по написанному выше правилу.

1. 

По правилу умножения матрицу на матрицу перемножим на

2. 

Возведём в квадрат , перемножив его само на себя, и по правилу умножения матрицы на число помножим на

3. 

Все полученные значения подставим в формулу.

4. 

Ргр №2 Тема: «Системы линейных алгебраических уравнений»

Задание 1. Решить систему уравнений тремя известными вам методами:

Метод Гаусса

Е

-1

-2

динственный метод, не имеющий формулы и” твёрдого” алгоритма решения. Решения производится методом сведения матрицы к треугольному или диагональному виду, т.е. выбирается два числа, одно из них помножается на такое, что другое при их сложении равно 0.

1

Метод Крамера

Найдём по правилу треугольников (смотри РГР-1).

Зная, что первый столбец – коэффициенты переменной x, второй столбец – коэффициенты переменной y, третий столбец коэффициенты – переменной z, составляем определитель системы.

Для заменим столбец коэффициентов переменной x столбцом свободных членов (числа без переменных стоящих справа от знака равенства).

Находим по тому же указанию, что

Находим по тому же указанию, что

Метод обратной матрицы (смотри РГР-1).

Метод основан на замене системы уравнений матричным уравнением где A- матрица системы, X- матрица-столбец переменных, B-матрица столбец свободных членов. Для получения результата помножим ,.

1. 

2. ;

3. ;

4. 

Для получения результата помножим , где матрица-столбец свободных членов.

5. 

Задание 2. Решить систему методом Гаусса:

Выполняется точно также как и выше рассмотренный пример по методу Гаусса.

- в результате преобразования получили противоречивую строку ⇒ система не совместна ⇒ решений нет.

Ргр №3 Темы: «Векторы» и «Уравнения прямых и плоскостей»

B

D

C

Задание 1. Вычислить: а) V_ABCD - ?                        

б) S_ABC - ?                         

в) cos(AB^AC) - ?              

Найти

По формуле вычислим

;

По правилу вычисления векторного произведения векторов, заданных в координатной форме найдём

Найдём по формуле

По формуле найдём объём;

Задание 2. Найти векторное и скалярное произведение векторов

если

Через заданные векторы, известный угол и свойства веторного , и скалярного , произведения векторов найдём их.

Найдём скалярное произведние векторов и подставим значения.

Найдём модуль векторного произведения.

Задание 3. Для точек:

Найти: 1) выяснить, лежат ли на одной прямой точки А₁, А₂, А₄;

2) длины сторон треугольника А₁А₂А₃;

3) углы треугольника А₁А₂А₃;

4) углы между векторами, выходящими из точки А₄;

5) координаты середин отрезков, проведенных из точки А₄;

6) составить уравнение сферы с центром в точке А₂ и радиусом равным номеру варианта;

7) составить уравнение плоскости А₁А₂А₃;

8) составить уравнение прямой А₂А₄;

9) составить уравнение прямой параллельной вектору А₂А₄ и, проходящей через точку А₃.

1. Выяснить, лежат ли на одной прямой точки

Найдём векторы

Найдём скалярное произведение двух векторов по формуле

2. Длины сторон треугольника

Найдём по уже нам известной методике векторы

Т еперь найдём длинну этих векторов по фомуле

.

3. Углы треугольника Найдём углы треугольника по формуле

4. У

   

   

   глы между векторами, выходящими из точки

Найдём векторы по рассмотренной выше методике.

Найдём их длинну по формуле

Найдём углы между векторами по формуле

5. Координаты середины отрезков, проведённых из точки

Предположим, что в середине лежит точка

6. Составить уравнение сферы с центром в точке и R=8.

По формуле уравнения сферы составим уравнение:

7. Составить уравнение плоскости

Зная точки найдём составим уравнение плоскости по формуле

8. Составить уравнение прямой

Зная уравнение прямой проходящей через две точки составим уравнение:

9. Составить уранение прямой параллельному вектору

и проходящей через точку

В знаменатель подставим значения вектора

а в числителе т.к. надо уравнение прямой будет, как и в каноническом уравнении, только вместо подставим

.