Приклад 4
Розв’язати
рівняння:
.
Розв’язання
Приведемо це рівняння до вигляду (2.2):
.
Замінимо:
,
,
.
Отримаємо
рівняння :
;
;
;
;
;
.
Проінтегруємо:
.
Маємо:
.
(Якщо при розв’язуванні отримано
логарифми, зручно подати довільну сталу
інтегрування С
у вигляді логарифма
).
Звідки:
,
.
Повертаємось
до вихідних змінних:
,
тоді:
;
;
;
.
Відповідь:
.
Зауваження: Приклад 4 – зразок розв’язання завдання № 2.
2.3. Лінійні диференціальні рівняння.
Означення
5.
Лінійним диференціальним рівнянням
називається рівняння, що має
вигляд:
(2.4)
де
– функції, які залежать тільки від
змінної х.
Метод
розв’язання: робимо заміну невідомої
функції:
– деякі невідомі функції. Тоді
.
Після заміни в рівнянні (2.4) маємо:
Далі виконуємо штучний крок: вважаємо невідому функцію v такою, що вираз у дужках (який завжди є множником до u та містить v и v/) має дорівнювати нулю:
.
(2.5)
Враховуючи це, маємо, що для функції u виконується рівність:
.
(2.6)
З
рівностей (2.5) і (2.6) знаходимо функції
.
Приклад 5
Розв’язати
рівняння:
.
Розв’язання
Виконавши
заміну:
,
маємо:
.
1.
,
,
,
.
На цьому етапі довільну сталу С замінимо зручним значенням С=1 ( в інших випадках С=0 ). Отже, v = x.
2.
.
а)
;
б)
– інтегруємо за частинами, використовуючи
формулу:
.
Таким
чином,
3. Шукана
функція:
Відповідь:
Зауваження: приклад 5 – зразок розв’язання завдання №3.
3. Диференціальні рівняння другого порядку
3.1. Рівняння вигляду
Якщо
з рівняння можна виділити
як функцію, залежну тільки від
х,
тобто
,
то розв’язок у=у(х)
знаходимо, інтегруючи ліву та праву
частини рівняння двічі.
Приклад 7
Розв’язати
рівняння:
.
Розв’язання
Запишемо
рівняння у вигляді:
.
Знайдемо інтеграл:
.
Відповідь: .
3.2. Рівняння вигляду
Якщо
рівняння містить
та не містить в явному вигляді у,
то
метод розв’язування полягає в заміні:
Після такої заміни рівняння стає рівнянням 1-го порядку, розв’язання яких розглядались у п.2.2.-2.3.
Приклад 8
Розв’язати
рівняння:
.
Розв’язання
Замінимо:
.
Отримане
рівняння
є рівнянням із змінними, що розділяються
(п.1.1.):
,
звідки
.
Зворотна
заміна:
,
тобто
,
звідки
– шукана функція.
3.3. Рівняння вигляду
Якщо
рівняння містить
,
та не містить в явному вигляді незалежну
змінну х,
то метод розв’язання полягає в наступному:
нехай
,
тоді
(оскільки
) (3.1.)
При цьому отримуємо диференціальне рівняння 1-го порядку, де невідомою функцією є р(у), а незалежною змінною – у.
Приклад 9
Знайти
загальний розв’язок диференціального
рівняння:
.
Розв’язання
Згідно
з (3.1)
,
то рівняння матиме вигляд:
.
При розв’язанні маємо:
.
1.
– знайшли частинний розв’язок рівняння.
2.
– це рівняння із змінними, що розділяються,
яке дасть нам загальний розв’язок
диференціального рівняння:
Оскільки
,
то
– також із змінними, що розділяються,
тобто
,
звідки
.
Підносимо обидві частини рівняння до
степеня
,
отримуємо розв’язок в явному вигляді
або
,
де
,
.