3. Криві другого порядку.

5.1. Коло. Еліпс;

5.2. Гіпербола;

5.3. Парабола;

Іі. Основні теоретичні відомості. Приклади розв’язання задач.

1. Рівняння ліній на площині.

Означення 1. Рівнянням лінії на площині називається рівняння зі змінними х і у, якому задовольняють координати будь-якої точки М цієї лінії і не задовольняють координати кожної точки, що не належить до . При складанні рівнянь використовують векторну алгебру.

2. Пряма на площині.

2.1. Загальне рівняння прямої. Нормальний вектор.

Нехай на площині задано точку та вектор . Складемо рівняння прямої, що проходить через точку перпендикулярно вектору . Візьмемо довільну точку прямої , тоді вектор перпендикулярний вектору , тому скалярний добуток , або . Звідки одержуємо загальне рівняння прямої (2.1)

Означення 2. Загальним рівнянням прямої називають рівняння вигляду . Вектор - нормальний вектор прямої, заданої загальним рівнянням.

Приклад 1

Побудувати лінію, рівняння якої 2х – у = 4 Записати нормальний вектор.

Розв’язання.

За означенням 2 дане рівняння – це загальне рівняння прямої. Знайдемо координати двох точок, що належать даній прямій: якщо х=0, то у=–4 , якщо у=0, то х=2. Отже, пряма проходить через точки

2.2. Канонічне рівняння прямої. Напрямний вектор.

Нехай задано точку і вектор . Складемо рівняння прямої, що проходить через задану точку паралельно вектору . Візьмемо довільну точку прямої і розглянемо вектор , який колінеарний даному вектору , тому їх координати пропорційні: (2.2). Це рівняння називають канонічним рівнянням прямої, а вектор – напрямним вектором прямої.

2.3. Рівняння прямої, що проходить через дві точки.

Як відомо, через дві дані точки і проходить одна і тільки одна пряма на площині. Візьмемо напрямним вектором . Запишемо канонічне рівняння: (2.3). Це рівняння прямої, що проходить через дві задані точки , .

Приклад 2

Скласти рівняння прямої, що проходить через дві точки .

Розв’язання.

Використаємо загальний вигляд прямої, що проходить через дві точки (2.3): , звідки або

Відповідь:

2.4. Рівняння прямої з кутовим коефіцієнтом.

Нехай задано точку . Треба скласти рівняння прямої, що проходить через цю точку та утворює з віссю абсцис кут . Візьмемо напрямним вектором . Запишемо канонічне рівняння (2.2) , звідки одержуємо

Позначивши , запишемо рівняння прямої з кутовим коефіцієнтом (2.4).

Приклад 3

Скласти рівняння прямої, що проходить через точку та має кутовий коефіцієнт .

Розв’язання.

Використаємо рівняння (2.4). , звідки знаходимо

Відповідь:

2.5. Нормальне рівняння прямої. Нормувальний множник.

Означення 3. Нормальним рівнянням прямої називається рівняння , де - напрямні косинуси нормального вектора , – відстань від початку координат до прямої.

Загальне рівняння прямої приводиться до нормального вигляду множенням на нормувальний множник де знак перед коренем вибирається протилежним знаку вільного члена С.

Теорема 1

Відстань від точки до прямої ( ) обчислюється за формулою: (2.5)

Приклад 4

Знайти відстань від точки М(1; -2) до прямої

Розв’язання.

За формулою (2.5): =

Відповідь:

2.6. Кут між двома прямими на площині . Умови паралельності і перпендикулярності прямих.

Нехай задано дві прямі : та . Знайдемо кут між ними.

За малюнком бачимо, що , при цьому

Теорема 2

Для паралельності прямих і необхідно і достатньо, щоб (2.6)

Приклад 5

Записати рівняння прямої , що проходить через точку М (1; -2) паралельно до прямої , яку задано рівнянням 3х + 2у – 6 = 0.

Розв’язання.

Знайдемо кутовий коефіцієнт прямої : у = - 1,5 х + 2, тому .

За умовою паралельності

Використаємо рівняння прямої з кутовим коефіцієнтом (2.4), одержимо : , звідки знаходимо рівняння : 1,5х + у + 0,5 = 0.

Відповідь: :1,5х + у + 0,5 = 0.

Теорема 3

Для перпендикулярності прямих і необхідно і достатньо, щоб

Приклад 6

Записати рівняння прямої, що проходить через точку М(1;-2) перпендикулярно до прямої , яку задано рівнянням 3х + 2у – 6 = 0.

Розв’язання.

Знайдемо кутовий коефіцієнт прямої : у = - 1,5 х + 2 , тому .

За умовою перпендикулярності , тому

Використаємо рівняння прямої з кутовим коефіцієнтом (2.4), одержимо: , звідки знаходимо рівняння :

Відповідь: : .