2.8. Характеристические функции
Метод характеристических функций был создан А.М. Ляпуновым для доказательства центральных предельных теорем, что и будет продемонстрировано в гл. 4 при доказательстве некоторых предельных теорем. В дальнейшем метод стал применяться для решения других вероятностных задач. В этом разделе мы рассмотрим только определение характеристических функций и некоторые из основных свойств характеристических функций, благодаря которым они находят широкое применение в теории вероятностей.
Определение.
Характеристической
функцией
скалярной
сл. величины
называется функция:
(2.24)
Первая формула в (2.24) есть ничто иное как преобразование Фурье функции f(x), следовательно, закон распределения, в частности функция распределения , однозначно определяют характеристическую функцию . Верно и обратное утверждение: характеристическая функция однозначно определяет функцию распределения . Последнее утверждение может быть сформулировано в виде теоремы:
Теорема (единственности). Пусть F и G две функции распределения, имеющие одну и ту же характеристическую функцию. Тогда F = G.
Явное выражение функции распределения F через характеристическую функцию g дает так называемая формула обращения. Она представляет собой разновидность обратного преобразования Фурье.
Теорема (формула обращения). Пусть F – функция распределения сл. величины и g – ее характеристическая функция. Тогда
а) для любых двух точек x и y, x>y, в которых функция F непрерывна, имеет место соотношение
;
(2.25)
б) если
,
то функция распределения F имеет плотность
распределения f и
(2.26)
Формула (2.25)
справедлива и в точках разрыва функции
F, если считать, что в этих точках
.
Интеграл (2.26), если не выполняется условие б) теоремы, понимается в смысле главного значения.
Пример 26. Вычислить характеристическую функцию экспоненциально распределенной сл. величины.
Решение. Случайная
величина
распределена
по экспоненциальному закону, следовательно,
,
параметр распределения. Тогда
.
Пример 27. Вычислить характеристическую функцию нормально распределенной сл. величины.
Решение.
Пусть
–
стандартная нормальная сл. величина,
Тогда
Итак, для нормального
стандартного закона распределения
Пусть
теперь параметры нормального закона
распределения равны m
и ,
тогда
Итак,
– так выглядит характеристическая
функция нормально распределенной сл.
величины с параметрами m
и .
Некоторые свойства характеристических функций.
1.
Это свойство может
быть переписано в виде
Первое утверждение
очевидно. Оценим величину
так как
2.
.
.
3.
Характеристическая
функция является функцией действительного
переменного тогда и только тогда, когда
распределение F симметрично (то есть
).
4. Если
существует абсолютный начальный момент
порядка N,
то характеристическая функция сл.
величины
дифференцируема
N
раз, при этом
Так как
то интеграл
равномерно по u
сходится,
значит, его можно дифференцировать:
.
Если k=1,
то g
(u)=
Свойство 4 позволяет
вычислять начальные моменты сл. величины
более просто, чем с помощью функции
распределения:
,N.
5.
Если существует и конечна производная
характеристической функции
при некотором n, то
.
Тогда, согласно
свойству 4, существуют моменты
всех порядков до N=2n
включительно и
.
6. Для того чтобы сл. величины ξ и η была независимы, необходимо и достаточно чтобы характеристическая функция суммы этих сл. величин была равна произведению их характеристических функций.
Благодаря именно этому свойству характеристические функции нашли такое широкое применение в ТВ. При суммировании независимых сл. величин их плотности распределения преобразуются по формуле свертки – формулы неудобной для исследования. Гораздо проще рассмотреть произведение характеристических функций.
7. Если
= a
+b,
то
Действительно,
=
Замечание.
Используя
характеристическую функцию можно
вычислять и дисперсию сл. величины:
знаем, что
,
тогда
.
Так, для нормального стандартного
распределения
,
как и следовало ожидать.
Пример 28. Рассмотрим
независимые сл. величины
и ,
распределенные по нормальному закону
с параметрами
и
соответственно.
Тогда для сл. величин
и
их характеристические функции равны
соответственно
По свойству 6 характеристических функций
для сл. величины =+
характеристическая функция имеет вид
Но это характеристическая функция сл.
величины, распределенной по нормальному
закону с параметрами
+
и
.
В силу взаимно однозначного соответствия
между функциями распределения и
характеристическими функциями сл.
величин можно утверждать, что сумма
независимых нормальных
сл. величин также распределена по
нормальному закону с параметрами
и
.
Интересно, что и обратное свойство имеет место: если сумма двух независимых сл. величин имеет нормальное распределение, то и слагаемые – нормально распределенные сл. величины.