IV. Предельные теоремы теории вероятности
4.1 Последовательности независимых событий
Рассмотрим некоторое вероятностное пространство (Ω, F, P). Будем говорить, что события независимы, если для всех m, , и всех .
Будем говорить, что события образуют последовательность независимых событий, если для любых n события независимы.
Если – последовательность независимых событий, то последовательность где или , также является последовательностью независимых событий.
С каждой последовательностью событий можно связать события
и (4.1)
Первое из событий (4.1) означает, что для любого n осуществляется хотя бы одно из событий , k = n, n+1,… т.е. событие осуществляется тогда и только тогда, когда происходит бесконечное число из событий .
Второе из событий (4.1) означает, что существует такое число n, что осуществляются все события , k = n, n+1,… т.е. событие происходит тогда и только тогда, когда не происходит лишь конечное число из событий .
Теорема 1 (Бореля - Кантелли). Если – последовательность независимых событий, то:
Доказательство. Первый случай. Из определения верхнего предела последовательности следует соотношение . Тогда согласно свойствам Р3, Р8 вероятностей событий получим соотношения 0 при , как остаток сходящегося ряда.
Второй случай. Перейдем к событию Вычислим вероятность ≤
Отсюда 1– →1, при n→ ∞. Далее, , следовательно, →1, при n→ ∞. Так как то
В чем смысл доказанной теоремы? Для независимых событий событие может иметь вероятность 0 или 1. В первом случае это означает что с вероятностью 1 происходит лишь конечное число из событий ; во втором – с вероятностью 1 происходит бесконечное множество событий из .
Замечание. Первый случай теоремы справедлив для любой последовательности событий (необязательно независимых).
4.2. Последовательность независимых величин
Пусть – последовательность независимых сл. величин. Это значит, что и любых чисел события независимы.
Замечание. Следует помнить, что когда мы говорим пусть x – сл. величина или пусть – последовательность сл. величин, то полагаем, что существует некоторое вероятностное пространство (W, F, P), на котором эта сл. величина x или эти сл. величины заданы.
Приведем некоторые признаки независимости сл. величин.
Теорема 2. Для того чтобы сл. величины были независимы необходимо, чтобы для любых ограниченных борелевских функций
= (4.2) и достаточно, чтобы равенство (4.2) выполнялось для непрерывных ограниченных функий.
Борелевскими называются функции, измеримые относительно s– алгебры борелевских множеств.
Следствие 1. Если – независимые сл. величины и , существуют, то существует и .
Следствие 2. Если – независимые сл. величины и , то – не коррелированны.
Следствие 3. Если – независимые сл. величины и то
Результаты следствий нам уже известны, они приведены в соответствующих свойствах математичского ожидания и дисперсии.