II. Случайные величины и их распределения

2.1. Случайная величина

Теория вероятности не достигла бы такого расцвета и не была бы столь широко используема, если бы она занималась только случайными событиями. Вторым не менее важным объектом изучения в теории вероятности является случайная величина (сл. величина).

С точки зрения функционального анализа случайная величина представляет собой обычную числовую функцию, заданную на пространстве элементарных исходов Ω и измеримую относительно борелевской σ-алгебры иДадим формальное определение сл. величины.

Определение. Пусть (Ω, F, P) – некоторое вероятностное пространство. Случайной величиной называется измеримая функция ξ, ставящая в соответствие каждому элементарному исходу число. Случайные величины принято обозначать греческими буквами,… или большими латинскими буквами X, Y, Z ,…

Термин «измеримая» означает, что для любого множества B из борелевской σ-алгебры все множества, то есть являются событиями.

Напомним, что σ-алгебра на прямой – это множество, которое включает в себя все открытые и замкнутые интервалы на R – про­межутки, обозначают их в общем виде как.

Отметим еще, что σ-алгебра борелевских множеств не является единственной σ-алгеброй на прямой. Ее применение в теории вероятностиудобно, потому что если измеряется случайная величина ξ, то основной вопрос, интересующий экспериментатора, это вопрос о том, с какой вероятностью эта сл. величина принимает то или иное свое значение, и всегда можно дать ответ на вопрос, имело ли место событие {ξ принадлежит данному промежутку }.

Чтобы получить ответ на этот вопрос, любой промежуток целесообразно представить в виде алгебраической суммыконечного числа промежутков определенного вида, а именно: промежутков вида . Приведем для каждого из видов промежутков эти алгебраические суммы: и, наконец,

Для любого промежутка имеет место включениетех промежутков, в виде разности которых он представим. Поэтому применимо следствие из свойства Р3 вероятностей: Р{ξ попала в промежуток} = Р{ξ попала в промежуток} – Р{ξ попала в промежуток}. Следовательно, целесообразно отвечать не на вопрос: имело ли место событие {ξ принадлежит данному промежутку}, а отвечать на вопрос: имело ли место событие {ξ принадлежит промежутку}? Зная ответ на второй вопрос, будем знать ответ и на первый.

Итак, будем рассматривать события ,. Обычно используют один из более коротких вариантов записи события:= =, чаще всего последний вариант:.

Функция распределения.

Важнейшей характеристикой сл. величины является ее функция распределения.

Определение. Функцией распределения (вероятностей) случайной величины ξ называется функция , значение которой в точке x равно вероятности события, то есть

. (2.1)

Функция распределения случайной величины есть самое полное описание случайной величины, так как функция распределения порождает вероятностную меру на измеримом пространстве (R,) (см. ниже свойства функции распределения). В дальнейшем, где это не будет приводить к недоразумениям, индекс ξ в обозначении функции распределениябудем опускать: вместобудем писать просто

Основные свойства функции распределения.

F1. .

Это свойство очевидно, поскольку F(x) – вероятность.

F2. F(x) – неубывающая функция, то есть если , то.

Результат следует из того факта, что событие входит в событиепри условии. Тогда по свойству Р3 вероятностейили.

F3. .

Событие– невозможное событие, поэтому=. Событие– достоверное событие, поэтому

F4. F(x) – непрерывная слева функция в каждой точке х.

Пусть возрастающая последовательность чисел, сходящаяся к. Докажем, что. Рассмотрим события= {ξ<},= {ξ<}, …,. Очевидно, что, n ≥ 1, следовательно, последовательностьмонотонная и ее предел.

Рассмотрим |используем аксиому непрерывности А4|.

F5. .

Событие есть объединение двух несовместных событийи. По свойству Р7 вероятностей из условияследуют соотношения.

F6. Р{ξ≤х}=F(x+0).

По определению , где– убывающая последовательность,, т.е.Множество, обозначениевведено при доказательстве свойства F4. Тогда

F7. Р{ξ = х} = F(x + 0) – F(x).

Так как =–и, то =–= = |следствие свойства Р3 вероятностей| = F(x + 0)– F(x).

На основании свойств F1 – F7 могут быть получены важные для практических целей (вместе со свойством F5) результаты, а именно:

(2.2)

причем (свойство F7).

Докажем одно из равенств, первое, например. Так как , тогда

Итак, с любой случайной величиной ξ связана функция распределения F(x): неотрицательная, неубывающая, непрерывная слева функция, .

Обратное утверждение также имеет место. Любая неубывающая, непрерывная слева функция, удовлетворяющая условию , является функцией распределения некоторой случайной величины ξ, то есть существует вероятностное пространство (Ω, F, P) и случайная величина ξ на нем, такая что.

Функция распределения F(х) является вероятностной мерой на борелевских множествах из она удовлетворяет всем аксиомам вероятности. Аксиома А1 выполняется в силу первого свойства функции распределения. Аксиома А2 выполняется в силу третьего свойства функции распределения. Справедливость аксиомы А3 легко показать, опираясь на определения функции распределения и несовместных событий борелевской σ-алгебры.

Замечание 1. Иногда за функцию распределения случайной величины ξ принимают вероятность события . Это ничего не изменит в наших рассуждениях, кроме очевидного изменения свойств F4 – F7 и в формулах (2.2), так как функция F(x) станет непрерывной справа (свойство F4).

Замечание 2. Можно ввести сл. события, порожденные конечным числом сл. величин, заданных на одном и том же вероятностном пространстве, например, с помощью сл. величин ζ и η могут быть заданы события: ,,,,и т.д.

Замечание 3. Можно ли утверждать, что сумма, разность, произведение, частное, если деление возможно, сл. величин также будут случайными величинами? На этот счет справедливо следующее утверждение [1]. Пусть – измеримое пространство. Сложная функцияявляется F-измеримой, если ξ – F-измеримая функция, а функция φ – борелевская функция.

Борелевскими называются функции, заданные на действительной прямой, если они -измеримы (измеримы относительно борелевской σ-алгебры множеств в пространстве).

Примерами борелевских функций являются все кусочно-непрерывные функции.

Следовательно, если имеются сл. величины ξ и η, то ξ + η, ξη, являются также сл. величинами.