2.3. Непрерывные случайные величины

Пусть теперь функция F(x) содержит только абсолютно непрерывную компоненту. Это значит, что существует такая функция f(x), что (предполагается, что интеграл сходится). Функцию f(x) называют плотностью распределения (вероятностей) случайной величины ξ.

Определение. Непрерывной случайной величиной называется случайная величина ξ, функция распределения которой F(x) представима в виде сходящегося интеграла .

На практике функция плотности распределения f(x) является непрерывной почти всюду на области определения, потому почти всюду справедливо равенство

. (2.8)

Для непрерывных случайных величин плотность распределения – основная характеристика случайных величин, она определяет закон распределения случайной величины. Аналогом ее для дискретной случайной величины служит ряд распределения.

Пример 7. Пусть задан отрезок длины T, на котором случайным образом выбирается две точки С и В. Обозначим через ξ расстояние между этими двумя точками. Найти функцию распределения и плотность распределения сл. величины ξ .

Решение. Из примера 25 раздела І известна вероятность события A={длина отрезка СВ не превосходит a, a≤Т}: С использованием этого результата получаем, что

и плотность распределения

Простейшие свойства плотности распределения.

1) f(x) ≥ 0.

Этот результат есть следствие формулы (2.8) и того факта, что функция распределения F(x) – неубывающая функция.

2) .

По определению – свойство F3 функции распределения.

3) .

Действительно, .

С геометрической точки зрения вероятность попадания сл. величины в интервал равна площади криволинейной трапеции, ограниченной осью Ох, прямыми х=a, х=b и кривой y=f(х). По свойству 2 вся площадь под кривой f(х) равна 1.

Очевидно, что,

Из полученного соотношения следует, что вероятность попадания случайной величины на малый интервал длиной Δx приблизительно (с точностью до о(Δx)) пропорциональна длине этого интервала с коэффициентом пропорциональности f(x) (зависящего от x). Отсюда и термин “плотность“ распределения для функции f(x). Выражение иногда называют элементом вероятности.

Иногда для плотности распределения бывает полезной формула

. (2.9)

Свойство 3 для произвольного множества может быть записано в виде

. (2.10)

На основании свойства 3 плотностей распределений всем событиям вида отвечает одна и та же вероятность, равная , при этом .

В этом случае событие является примером возможного события, имеющего нулевую вероятность, событие же не является достоверным, но имеет вероятность 1.

Пример 8. Могут ли функции

быть плотностями распределения?

Решение. Рассмотрим случай с): нет, не может, т.к. нарушается первое свойство плотности распределения.

Проверить остальные варианты самостоятельно!

Рассмотрим некоторые наиболее часто встречающиеся в практических задачах непрерывные случайные величины.

1. Равномерное распределение. Равномерно распределенная на отрезке [a,b] случайная величина ξ имеет плотность распределения . Функция распределения имеет вид .

Вероятность попадания случайной величины на интервал равна , она пропорциональна длине этого интервала. Таким образом, равномерное распределение реализует принцип геометрической вероятности при бросании точки на отрезок [a,b]. Равномерное распределение обозначается как Rav[a,b].

Замечание. В точках a и b функция F(x) не дифференцируема, следовательно, функция f(x) в этих точках может принимать какие угодно значения, потому наряду с обозначением Rav[a,b] будем использовать и обозначение Rav(a,b).

Пример 9. На перекрестке стоит светофор – автомат, в котором 1 минуту горит зеленый свет, 0.5 минут горит красный и 0.1 минуту – желтый. Некто подъезжает к перекрестку на машине в случайный момент времени, не связанный с работой светофора. Какова вероятность того, что он проедет перекресток не останавливаясь?

Решение. Пусть сл. величина ξ – момент проезда автомашины через перекресток. По условию сл. величина ξ имеет равномерное распределение в интервале, равном периоду смены цветов в светофоре, 1+0.5+0.1=1.6 мин. Для того, чтобы машина проехала перекресток не останавливаясь, нужно, чтобы момент проезда пришелся на интервал (0,1). Тогда .

2. Экспоненциальное распределение. Случайная величина распределена по экспоненциальному (показательному) закону, если ее определяет плотность распределения вида:

,

λ > 0 – параметр распределения.

Для краткости показательное распределение с параметром λ обозначается символом .

Примером такой случайной величины может служить время распада атомов различных элементов. При этом величина носит название среднего времени распада, а – периода полураспада.

Экспоненциально распределенная случайная величина ξ обладает одним очень важным свойством – отсутствием последствия. Рассмотрим события . Найдем условную вероятность По определению , так как событие B содержит в себе событие A: А B. Следовательно,

Тогда, .

Если интерпретировать ξ как время распада атома, то событие A при условии совершения события B, означает распад атома за время x₂ при условии, что он прожил уже перед этим время x₁. Событие означает распад атома за время x₂. Получили, что вероятности этих событий – условного A|B и безусловного – С совпадают. Именно это свойство и интерпретируют как отсутствие последствия. Допуская некоторую вольность речи, отсутствие последствия можно трактовать как независимость остаточного времени жизни атома от того, сколько времени он уже прожил.

В общем случае отсутствие последствия можно интерпретировать так: если непрерывная случайная величина обладает этим свойством, то вероятность попадания в любой интервал длины ∆ не зависит от того, где на числовой прямой расположено начало интервала, эта вероятность зависит только от длины интервала.

Может быть доказана справедливость обратного утверждения: если непрерывная случайная величина обладает свойством отсутствия последствия, то она будет иметь экспоненциальное распределение.

Поэтому отсутствие последствия является характеристическим свойством экспоненциально распределенных случайных величин.

По экспоненциальному закону распределено время между падениями метеоритов в одном и том же районе, время между поступлениями вызовов на телефонную станцию и т. д.

Экспоненциальное распределение тесно связано с законом Пуассона: если промежутки времени между последовательными наступлениями некоторого события представляют собой независимые экспоненциально распределенные сл. величины с одним и тем же параметром λ, то число наступлений этого события за время t (дискретная случайная величина) распределено по закону Пуассона с параметром λt.

Определение независимых случайных величин будет дано ниже – см. формулу (3.22) раздела Ш.

Дискретным аналогом экспоненциального распределения случайных величин является геометрическое распределение. Это значит, что если в определении экспоненциального распределения x полагать положительными целыми числами, то полученное распределение дискретной случайной величины ξ – номера появления первого успеха, будет иметь вероятности .

3. Нормальное распределение. Случайная величина ξ имеет нормальное или гауссово распределение, если ее плотность распределения имеет вид Вещественные величины m и σ > 0 – параметры распределения, m называют средним значением случайной величины ξ, σ – ее средним квадратическим отклонением. Формальное определение этих понятий будет дано позже (см. п. 2.5 и 2.6 ).

Функция распределения для нормального закона имеет вид:

Для краткости нормальное распределение с параметрами m и σ обозначают символом .

Ниже приводятся графики функций для некоторых значений m и σ:

Прямая x=m является осью симметрии графика плотности вероятности, тогда m на оси Ox является центром нормальной плотности, величина σ – величина разброса значений случайной величины относительно центра (по оси Ox).

Для вероятности попадания нормальной случайной величины в интервал имеем формулу . Если , то . Для практических целей эта вероятность равна 1, событие – практически достоверное. Это дает «правило трех сигм»: нормальная случайная величина практически никогда не отклоняется от своего среднего значения m более чем на 3σ.

Если m=0, σ=1, то такой нормальный закон называют стандартным нормальным законом распределения. Плотность распределения и функцию распределения стандартной нормальной сл. величины чаще всего обозначают символами и , соответственно.

С этими функциями мы встречались в теоремах Муавра – Лапласа (см. п. 1.13).

Нормально распределенные случайные величины играют огромную роль в практических задачах математической статистики, случайных процессов и т. д. Это вызвано тем, что они обычно возникают при изучении таких явлений, которые подвержены действию большого числа малых по величине случайных воздействий.

Пример 10. Производится взвешивание некоторого вещества. Случайные погрешности взвешивания подчинены нормальному закону с параметрами m=0, σ=20. Найти вероятность того, что взвешивание будет производиться с погрешностью, не превосходящей по модулю 10.

Решение. Пусть случайная величина ξ – погрешность взвешивания. Событие, о котором идет речь в задаче, может быть записано в виде {|ξ|<10}. Использование формулы (2.10) дает нам выражение

.

Вычисления можно выполнить иначе:

4. Распределение Вейбулла. Случайная величина распределена по закону Вейбулла, если она имеет плотность распределения вида

, величины α, β>0 – параметры распределения.

Считается, что закону Вейбулла подчиняется время безотказной работы многих технических устройств.

Если β=1, то распределение Вейбулла превращается в экспоненциальное распределение с параметром α>0.

Если β=2, то это так называемое распределение Рэлея.

5. Гамма – распределение. Характеристикой этого распределения служит плотность вероятности – функция

положительные величины λ, γ– параметры распределения и – гамма функция Эйлера.

Гамма – распределение так же хорошо описывает время безотказной работы технических устройств, оно похоже на распределение Вейбулла.

Если γ=1, то из гамма – распределения получается экспоненциальный закон распределения.

Если , то имеем частный случай гамма–распределения – распределение Эрланга, которое находит важное применение в теории массового обслуживания.

Если γ – полуцелое, т. е. , а , то частный случай этого распределения носит название распределения (хи-квадрат), без которого математической статистики просто не существовало бы. Параметр k в – распределении носит название числа степеней свободы распределения (см. также п. 3.5).

При изучении гамма – распределения полезными являются следующие соотношения: .

Пример 11. Непрерывная сл. величина задана плотностью распределения: Определить: 1) постоянную величину а; 2) функцию распределения сл. величины F(х); 3) вероятность события {0<ξ<3}; 4) вероятность того, что при 4 независимых испытаниях сл. величина ξ ни разу не попадет в интервал (2,3).

Решение. 1). Для нахождения постоянной а воспользуемся свойством 2 плотности вероятности: .

2). По определению

3). или (если F(х) нет необходимости находить)

4). Р{ξ не попадет в интервал (2,3) при одном испытании}=

Р{ξ не попадет в интервал (2,3) при четырех испытаниях} .