П. Случайные величины и их распределения

2.1. Случайная величина

Теория вероятности не достигла бы такого расцвета и не была бы столь широко используема, если бы она занималась только случайными событиями. Вторым не менее важным объектом изучения в теории вероятности является случайная величина (сл. величина).

С точки зрения функционального анализа случайная величина представляет собой обычную числовую функцию, заданную на пространстве элементарных исходов Ω и измеримую относительно борелевской σ-алгебры и

Дадим формальное определение сл. величины.

Определение. Пусть (Ω,F,P) – некоторое вероятностное пространство. Случайной величиной называется измеримая функция ξ, ставящая в соответствие каждому элементарному исходу число . Случайные величины принято обозначать греческими буквами ,…. или большими латинскими буквами X, Y, Z ,…

Термин «измеримая» означает, что для любого множества B из борелевской σ–алгебры все множества , то есть являются событиями.

Напомним, что σ–алгебра на прямой – это множество, которое включает в себя все открытые и замкнутые интервалы на R – промежутки, обозначают их в общем виде как .

Отметим еще, что σ–алгебра борелевских множеств не является единственной σ–алгеброй на прямой. Ее применение в теории вероятности удобно, потому что если измеряется случайная величина ξ, то основной вопрос, интересующий экспериментатора, это вопрос о том, с какой вероятностью эта сл. величина принимает то или иное свое значение, и всегда можно дать ответ на вопрос имело ли место событие {ξ принадлежит данному промежутку }.

Чтобы получить ответ на этот вопрос, любой промежуток целесообразно представить в виде алгебраической суммы конечного числа промежутков определенного вида, а именно промежутков вида . Приведем для каждого из видов промежутков эти алгебраические суммы:

и, наконец,

Для любого промежутка имеет место включение тех промежутков, в виде разности которых он представим. Поэтому применимо следствие из свойства Р3 вероятностей: Р{ξ попала в промежуток }=Р{ξ попала в промежуток } – Р{ξ попала в промежуток }. Следовательно, целесообразно отвечать не на вопрос: имело ли место событие {ξ принадлежит данному промежутку }, а отвечать на вопрос: имело ли место событие {ξ принадлежит промежутку }? Зная ответ на второй вопрос, будем знать ответ и на первый.

Итак, будем рассматривать события ,

. Обычно используют один из более коротких вариантов записи события : =

= , чаще всего последний вариант: .

Функция распределения.

Важнейшей характеристикой сл. величины является ее функция распределения.

Определение. Функцией распределения (вероятностей) случайной величины ξ называется функция , значение которой в точке x равно вероятности события , то есть

(2.1)

Функция распределения случайной величины есть самое полное описание случайной величины, т.к. функция распределения порождает вероятностную меру на измеримом пространстве (R , ) (см. ниже свойства функции распределения). В дальнейшем, где это не будет приводить к недоразумениям, индекс ξ в обозначении функции распределения будем опускать: вместо будем писать просто

Основные свойства функции распределения.

F1. .

Это свойство очевидно, поскольку F(x) – вероятность.

F2. F(x) – неубывающая функция, то есть если , то .

Результат следует из того факта, что событие входит в событие при условии . Тогда по свойству Р3 вероятностей или .

F3. .

Событие – невозможное событие, поэтому

= . Событие – достоверное событие, поэтому

F4. F(x) – непрерывная слева функция в каждой точке х.

Пусть возрастающая последовательность чисел, сходящаяся к . Докажем, что . Рассмотрим события = {ξ< }, = {ξ< }, … , . Очевидно, что , n≥1, следовательно, последовательность монотонная и ее предел .

Рассмотрим |используем аксиому непрерывности А4| .

F5. .

Событие есть объединение двух несовместных событий и . По свойству Р7 вероятностей из условия следуют соотношения

F6. Р{ξ≤х}=F(x+0).

По определению , где – убывающая последовательность, , т.е. Множество , обозначение введено при доказательстве свойства F4. Тогда

F7. Р{ξ=х}= F(x+0)– F(x).

Так как = – и , то = – = |следствие свойства Р3 вероятностей| = =F(x+0)– F(x).

На основании свойств F1÷F7 могут быть получены важные для практических целей (вместе со свойством F5) результаты, а именно:

(2.2)

,

причем

(свойство F7)

Докажем одно из равенств, первое, например. Так как , тогда

Итак, с любой случайной величиной ξ связана функция распределения F(x): неотрицательная, неубывающая, непрерывная слева функция, .

Обратное утверждение также имеет место. Любая неубывающая, непрерывная слева функция, удовлетворяющая условию , является функцией распределения некоторой случайной величины ξ, то есть существует вероятностное пространство (Ω,F,P) и случайная величина ξ на нем, такая что .

Функция распределения F(х) является вероятностной мерой на борелевских множествах из она удовлетворяет всем аксиомам вероятности. Аксиома А1 выполняется в силу первого свойства функции распределения. Аксиома А2 выполняется в силу третьего свойства функции распределения. Справедливость аксиомы А3 легко показать, опираясь на определения функции распределения и несовместных событий борелевской σ–алгебры.

Замечание 1. Иногда за функцию распределения случайной величины ξ принимают вероятность события . Это ничего не изменит в наших рассуждениях, кроме очевидного изменения свойств F4 – F7 и в формулах (2.2), так как функция F(x) станет непрерывной справа (свойство F4).

Замечание 2. Можно ввести сл. события, порожденные конечным числом сл. величин, заданных на одном и том же вероятностном пространстве, например, с помощью сл. величин ζ и η могут быть заданы события: , , , , и т.д.

Замечание 3. Можно ли утверждать, что сумма, разность, произведение, частное, если деление возможно, сл. величин также будут случайными величинами? На этот счет справедливо следующее утверждение [1]. Пусть – измеримое пространство. Сложная функция является F – измеримой, если ξ – F–измеримая функция, а функция φ – борелевская функция.

Борелевскими называются функции, заданные на действительной прямой, если они – измеримы (измеримы относительно борелевской σ–алгебры множеств в пространстве ).

Примерами борелевских функций являются все кусочно-непрерывные функции.

Следовательно, если имеются сл. величины ξ и η, то ξ+η, ξη, являются также сл. величинами.