. 3. Координаты полюса маневрирования

3.1. Координаты полюса в декартовой системе координат.

Введем прямоугольную неподвижную систему координат с центром в месте маневрирующего корабля в момент измерения первого пеленга (позиция М₁). Положительное направление оси Х_М направим по курсу корабля М, а ось V_М под прямым углом к курсу в сторону объекта маневра.

Для нахождения координат полюса необходимо определить координаты точки пересечения окружностей с центрами в точках О₁ и О₂ (Рис. 4). .Из рис. 4 видно, что вспомогательная точка С_1,2 есть пересечение пеленгов на цель измеренных в момент нахождения в позициях М₁ и М₂.. Прямые М₁С_1,2 и М₂С_1,2 в введенной нами системе координат будут: описываться соответственно уравнениями:

3.1)

приравняв правые части и проведя соответствующие преобразования, получим координаты точки С_1,2.

3.2)

Xc₁₂= Yc₁₂=

Точка С_1,2 получена пересечением пеленгов П₂ и П₃ (прямые М₂С_2,3 и М₃С_2,3) описываемых уравнениями:

Y

3.3)

= tg (q₂) (x-S_M) Y= tg (q₃) (x-2S_M)

Совместное решение системы уравнений позволяет определить координаты точки С_1,2:

X

3.4)

c_2,3=

Y

3.5)

c_2,3=

Тогда координаты точки D₁ расположенной на середине отрезка М₁С_1,2 определятся выражением:

3.6)

а, координаты точки D₂:

3.7)

Центр окружности т. О₁ будет находиться на пересечении перпендикуляра проведенного из середины отрезка М₁С_1,2 и прямой x=

Угловой коэффициент перпендикуляра D₁О₁ будет:

3.8)

а, свободный член определится из условия:

3.9)

тогда:

3.10)

подставляя значения х и В₁ в уравнение прямой получим:

3.11)

таким образом координаты центра окружности О₁ будут:

3.12)

Аналогично поступая, получим координаты центра второй окружности О₂:

Уравнение прямой, проходящей через центры окружностей О₁ и О₂ , будем искать в виде [3]:

и

3.13)

ли

Преобразуя, получим:

3.14)

Прямая М₂ Р соединяющая позицию маневрирующего корабля в момент измерения второго пеленга М₂ (координаты (x = S_M; y = 0)) с полюсом маневрирования представляет собой общую хорду окружностей О₁ и О₂ и, следовательно, перпендикулярна линии соединяющей центры этих окружностей. Уравнение перпендикуляра проходящего через точку с координатами (S_M; 0) будем искать в виде:

3.15)

где: С – свободный член уравнения.

О

3.16)

тсюда:

тогда уравнение прямой М₂ Р запишется в виде:

3.17)

а кратчайшее расстояние от точки М₂ до линии О₁ О₂ будет:

3.18)

Прямые, параллельные линии О₁ О₂ и отстоящие от нее на величину , проходят через позицию М₂ и полюс Р соответственно. Уравнения этих прямых будут иметь вид:

или раскрывая модули:

3.19)

Совместное решение уравнений (5.12) и (5.14) определит координаты позиции М₂:

X

3.20)

= S_M

Y = 0

а совместное решение уравнений (5.12) и (5.15) позволяет найти координаты полюса маневрирования Р:

3.21)

обозначив: а = tg (q₂ – q₁) и b = tg (q₃ – q₂) после несложных преобразований получим координаты полюса маневрирования:

3.22)

Анализ выражений (3.22) позволяет сделать важный вывод:

В случае движения при постоянстве пеленга, т.е. когда а = b, полюс маневрирования находится в точке пересечения курсов (с координатами x = S_M ; y = 0 ) маневрирующих кораблей.

Из выражений (3.17) следует, что расстояние до полюса в момент измерения первого пеленга будет:

а относительный курсовой и угол q_ρ и угол 

3.23)

Выражения 3.22) определяют координаты полюса в момент измерения первого пеленга в декартовой системе координат.