3.7. Математическое дисконтирование по сложной ставке процентов

Для того чтобы определить, какую денежную сумму следует вложить под сложные проценты сегодня, чтобы получить в определенный момент в будущем заданную сумму , следует применить дисконтирование.

Выразив из формулы 3.1, получим формулу математического дисконтирования:

(3.6)

где - дисконтный множитель, его значения приведены в Приложении 3.

Если проценты начисляются раз в году, то из формулы 3.6 получим:

, (3.7)

Здесь - современная величина (современная стоимость) денежной суммы .

Дисконт равен .

Если проценты начисляются раз в году, то .

Отметим, что современная величина суммы денег – одна из важнейших характеристик, применяемых в финансовом анализе.

Пример. Сумма 500 000 рублей будет выплачена через 5 лет. Определите ее современную стоимость при условии, что применяется ставка сложных процентов 12% годовых.

Решение: FV = 500 000 рублей; n = 5 лет; i = 0,12.

3.8. Непрерывное наращение и дисконтирование

До сих пор мы рассматривали в качестве процентного периода некоторый фиксированный промежуток времени (год, квартал, месяц, день). Уменьшая этот промежуток (до часа, минуты, секунды) и увеличивая частоту начисления процентов, можно перейти к непрерывному наращению процентов.

Пусть номинальная годовая ставка равна i.

При начислении процентов раз в году по ставке эффективная годовая ставка

Таким образом, за год сумма увеличится в раз. При все более частом наращении процентов, т.е. при → ∞, используя второй замечательный предел, получим:

где - число Эйлера (основание натурального логарифма), 2,718.

Таким образом, непрерывным наращением по ставке называется увеличение суммы в раз за один год или в общем случае в раз за лет.

Процентную ставку, применяемую при непрерывном начислении процентов, называют сила роста и обозначают . Сила роста характеризует относительный прирост наращенной суммы за бесконечно малый промежуток времени.

В общем случае, формула непрерывного наращения процентов имеет вид:

. (3.8)

Для того чтобы отличить непрерывную ставку от дискретной, обозначим силу роста . Тогда формула непрерывного начисления процентов примет вид:

(3.9)

Эта формула верна и для случая, когда не является целым числом.

Пример. На сумму 10 000 рублей начисляются проценты по ставке 8% годовых. Определить наращенную сумму через 3,5 года.

Решение:

Используя формулу (3.9), можно получить формулу непрерывного дисконтирования:

(3.10)

Пример. Какую сумму следует поместить на банковский депозит, чтобы через 5 лет получить 300 000 рублей, если проценты начисляются непрерывно по ставке 8%?

Решение: