Тема 3. Вычисления по сложным процентам

3.1. Наращение по сложным процентам

В среднесрочных и долгосрочных финансово-кредитных операциях в случае, если проценты не выплачиваются сразу после их начисления, а присоединяются к сумме долга, для наращения применяются сложнее проценты. База для начисления сложных процентов увеличивается с каждым периодом выплат. Присоединение начисленных процентов к сумме долга, которая служит базой для их начисления, называется капитализацией процентов.

Предположим, что клиент положил в банк сумму, равную рублей под процентную ставку . Через один период наращения (например, через год) на его счете будет сумма, равная . Полученная сумма может быть вновь инвестирована под процентную ставку на следующий процентный период. Тогда к концу второго процентного периода на его счете будет сумма, которая может быть исчислена следующим образом: . Если повторить этот процесс еще раз, то к концу третьего процентного периода на счете будет сумма, которую можно определить следующим образом:

.

Нетрудно видеть, что наращение по сложным процентам описывается геометрической прогрессией, начальный член которой , а знаменатель .

Тогда -ый член прогрессии, определяющий величину накопленной к концу - го периода суммы , определяется по формуле:

Следовательно, формула для расчета наращенной суммы в конце -го года при условии, что проценты начисляются один раз в году, имеют вид:

, (3.1)

где -первоначальный размер долга,

-процентная ставка,

-число лет наращения.

Проценты за этот период ( лет) равны:

Величина называется множителем наращения по сложным процентам. Для облегчения расчетов со сложными процентами составлены таблицы множителей наращения и множителей дисконтирования.

Пример. Какой величины достигнет долг, равный 1000 000 рублей, через 5 лет при росте по сложной ставке 15,5% годовых?

Решение: PV= 1000 000 рублей;i = 0,155; n=5.

3.2. Переменные процентные ставки

Неустойчивость кредитно-денежного рынка заставляет модернизировать «классическую» схему, например, с помощью применения изменяющихся во времени переменных ставок. В частности, в контракте может быть предусмотрено применение плавающих ставок, когда фиксируется не сама ставка, а ее базовое значение и маржа (margin) – величина надбавки к базе. Величина маржи в течение срока финансовой сделки может быть постоянной либо переменной, что определяется условиями контракта.

В случае если значения переменных ставок фиксируются в контракте, общий множитель наращения определяется как произведение частных множителей.

, (3.2)

где - последовательные во времени значения ставок;

- периоды, в течение которых используются соответствующие ставки.

Пример. Ссуда в размере 1000000 руб. выдана на 5 лет под 12% годовых плюс маржа 0,5% в первые два года и 0,75%-в оставшиеся. Определить наращенную величину долга.

Решение:

Наращение составит 814072 руб.

3.3. Наращение при дробном числе лет.

Наращение по сложной процентной ставке при дробном числе лет может производится двумя методами: точным и смешанным.

Точный метод. Формула наращения сложных процентов, выведенная для целых положительных n, может применяться и для нецелых .

Пример. 13 января в банк положили сумму 1000$, до востребования под ставку 6% годовых сложных процентов. Какую сумму снимет вкладчик 1сентября.

Решение:

13 января - № 13; 1 сентября - № 244.

Следовательно t=244-13=231. PV=1000$; i=0,06.

Смешанный метод наращения по сложным процентам. Если начисление процентов происходит за период, превышающий один год, и при этом период финансовой операции, выраженный в годах, является дробным числом, то с точки зрения инвестора (кредитора) наибольший эффект может быть получен при начислении процентов по смешанной схеме начисления процентов.

Смешанный метод (смешанная схема) начисления процентов – это такой метод, который предусматривает использование на разных временных интервалах различных схем начисления процентов. Такой метод позволяет комбинировать простые и сложные проценты с целью получения наибольшего эффекта. Формула наращения при этом имеет вид:

(3.3)

где - целое число лет;

- дробная часть года.

Эту формулу, как правило, используют в реальной банковской практике для финансовых вычислений.

Пример. Кредит в размере 3 млн. руб. выдан на 3 года и 160 дней под 16,5% сложных годовых. Найти сумму долга на конец срока двумя методами.

1) Точный метод:

.

2) Смешанный метод:

Как видим, смешанный метод дает более высокий результат.