Министерство образования Российской Федерации
Учебное пособие
«Решение задач
планиметрии. Практикум».
Автор: Евграфова Юлия Николаевна
г. Комсомольск – на – Амуре,
ул. Московская 22-25, тел. 25-68-22
ученица 10 А класса МОУ Лицей № 1
Адрес учреждения: г. Комсомольск – на – Амуре,
ул. Пирогова, 21, тел. 59-82-60
Научный руководитель: Будлянская Наталья Леонидовна
г. Комсомольск – на – Амуре,
ул. Вокзальная 72-71, тел. 59-95-03
преподаватель математики
2008 г.
-1-
Тезисы к работе
«Решение задач планиметрии. Практикум».
Многие мои сверстники не любят и боятся задач по планиметрии, а между тем они очень разнообразны, интересны и многие даже красивы. Надо только знать хорошо весь теоретический материал и владеть некоторыми приемами в подходах к решению такими, как выражение площади фигуры различными способами, выполнение дополнительных построений, использование тригонометрических функций, алгебраического аппарата и так далее.
Наиболее интересными, на мой взгляд, задачами являются такие, которые допускают многообразие способов их решения. И в этом плане мне понравились задачи, помещенные в сборнике Министерства образования «Единый государственный экзамен» 2003 – 2004 гг. Я создала к этой главе сборника своеобразный решебник, представив к большинству задач по 2-3 способа их решения и думаю, что мое пособие будет интересным и полезным в работе не только ученикам, но и учителям, осуществляющим подготовку их к экзаменам. Надеюсь, что вы со мною согласитесь.
-2-
Основные факты планиметрии.
I. Треугольники
1) Теорема синусов.
В треугольнике стороны пропорциональны синусам противолежащих
углов.
В
а
b
А
c
С
2) Теорема косинусов.
В треугольнике квадрат одной стороны равен сумме квадратов двух других
сторон без удвоенного произведения этих сторон на косинус угла между
ними.
В
а
b
А с С
Примечание.
Если CosA
0,
то 
А
– острый, если CosА
= 0, то
А
– прямой, если CosA
0,
то
А
– тупой.
3) Теорема о биссектрисе угла в треугольнике.
Биссектриса угла треугольника делит его сторону на части,
пропорциональные прилежащим сторонам.
В
D
А С
4) Вычисление биссектрисы угла.
В
А
С
-3-
5 ) Вычисление координаты точки отрезка.
С В
А
,
где
или
,
где
6) Теорема о медианах.
В треугольнике медианы пересекаются в одной точке и делятся в
отношении 2:1, считая от вершины.
В
А
С
7) Вычисление длины медианы треугольника
С
с
а 
А b В
8) Теорема о высоте прямоугольного треугольника.
С
b
a
,
где
=DB
– проекция катета а
на
гипотенузу с,
=АD
– проекция
А c В катета b на гипотенузу с.
D
,
9) Теорема о центре вписанной окружности.
В
Центр
вписанной окружности лежит на
пересечении
биссектрис треугольника.
А
С
-4-
10) Теорема о центре описанной окружности.
Центр описанной окружности лежит на пересечении серединных
Перпендикуляров к сторонам треугольника.
Центр описанной окружности в остроугольном треугольнике лежит внутри треугольника;
Центр описанной окружности в тупоугольном треугольнике лежит вне треугольника;
Центр описанной окружности в прямоугольном треугольнике лежит на середине гипотенузы.
11) Тригонометрические функции в прямоугольном
треугольнике.
А
,
,
,
b
с
С В
а
12) Площадь треугольника.
а)
;
б)
;
в)
,
где
;
г)
,
где R
– радиус
описанной окружности;
д)
;
е)
,
где r
радиус вписанной окружности, Р
– периметр
треугольника;
ж)
- площадь равностороннего треугольника;
-5-
13) Теорема об отношении площадей треугольников, имеющих равный угол.
В
А С
Площади относятся
как произведение сторон, заключающих
равные углы, то есть если
,
то
.
14) Теорема об отношении площадей подобных треугольников.
В
А С
,
где К
– коэффициент подобия.
Примечание:
14) Теорема Чевы.
Если три чевианы пересеклись в одной точке, то
В
,
,
- чевианы.
А С
-6-
II. Четырехугольники
1) Параллелограмм.
В а С
h
площадь
b
параллелограмма
АВСD
А D
В С
A
D
где
и
-
диагонали
параллелограмма
АВСD
2) Ромб.
В
,
где
и
-
диагонали ромба АВСD
А С
,
где а
– сторона ромба
D
3) Трапеция.
B
b
C 
,
где
-
средняя линия трапеции
A
а D
4) Свойства описанного четырехугольника.
b
В
любом описанном четырехугольнике суммы
противо -
положных
сторон равны:
a
c
с
d
5) Свойства вписанного четырехугольника.
В
любом вписанном четырехугольнике сумма
противоположных
углов равна
:
6) Площадь любого четырехугольника, у которого диагонали
перпендикулярны, выражается формулой:
В
А С
,
где
и
-
диагонали
D четырехугольника АВСD.
-7-
7) Правильные многоугольники.
-
сторона
правильного
многоугольника,
где R – радиус описанной окружности;
- сторона правильного
многоугольника,
где – r
радиус
вписанной окружности;
I II. Окружность.
1)
В
АВС
– вписанный,
АВС=
АС;
С
ADC
–
центральный,
ADC=
АС.
А
2
)
C
D Углы,
опирающиеся на диаметр прямые.
B
A
АВ –
диаметр,
АСВ
=
ADB
=
3)
D
A
B
