Модели объектов и их классификация

Три основных типа: описание объекта поверхностями, сплошными телами и типа проволочной сетки (каркасом).

Проволочная модель или каркасное моделирование. Поверхность представляется серией пересекающихся линий, принадлежащих поверхности объекта. Каркасная модель полностью описывается в терминах точек и линий. Каркасное моделирование представляет собой моделирование самого низкого уровня и имеет ряд серьезных ограничений, большинство из которых возникает из-за недостатка информации о гранях, заключенных между ребрами, и невозможности выделить внешнюю и внутреннюю области изображения твердотельного объема.

Главный недостаток – неоднозначность распознавания ориентации и видимости граней каркасного изображения. В отличие от твердотельной модели, в каркасной нельзя отличить видимые грани геометрической формы от невидимых (скрытых).

Описание объекта поверхностями. Объект представляется в виде тонких поверхностей, под которыми находится пустое пространство, не заполненное материалом объекта (эллипсоид – пустое внутри яйцо). В рамках этого метода конструируют полигонные поля и бикубические участки. Это модель более высокого уровня, чем каркасная, более гибкая и функциональная. Поверхности описываются различными способами (рассмотрено выше).

Описание сплошными телами. Объекту или отдельному примитиву принадлежат все точки объекта или примитива – как наружные, так и внутренние (эллипсоид – однородно заполненное яйцо). Модель описывается в терминах того трехмерного объема, который занимает определяемое ею тело.

Преимущества:

– полное определение объема и формы;

– обеспечение автоматического удаления невидимых (скрытых) линий;

– автоматизированное построение трехмерных разрезов проектируемого изделия, что особенно важно при анализе сложных сборочных единиц;

– автоматическое получение точных значений массы, площади поверхности, центра тяжести, момента инерции для любой детали или изделия в целом;

– повышение эффективности имитации движения инструмента или рабочих органов изделия;

– наличие разнообразной палитры цветов, получение тоновых эффектов – качественное изображение формы.

Описание сплошными телами

Ячеечные методы. Ограниченный участок пространства, охватывающий весь моделируемый объект, считается разбитым на большое число дискретных кубических ячеек. В простейшем случае размеры ребра куба равны единице измерения длины. Моделирующая система должна просто записать информацию о принадлежности или непринадлежности каждого куба телу объекта. Структура данных представляется трехмерной матрицей, в которой каждый элемент соответствует пространственной ячейке. Преимущество – прост, недостатки – требуется большой объем памяти для записи объекта с высоким разрешением. Для преодоления этого недостатка можно ячейки, которые захватывают границу объекта, разбить на подъячейки меньшего размера.

Представление объекта границами. В памяти машины сохраняют все элементы, которые создают границы объекта. Это: поверхности, края поверхности и указатели пересечений поверхностей. Также необходимо записать топологическую информацию, которая показывает, как элементы связаны друг с другом. Поверхности края и пересечения являются топологической основой конструкции объекта. При моделировании объекта границами структура данных строится одновременно с процессом создания модели. Преимущества: большие возможности геометрического моделирования форм, чем при описании сплошными телами; быстрый и эффективный доступ к геометрической информации, которая требуется для выполнения сечений тел или др. прикладных целей; относительно простое создание геометрических поверхностей свободных форм. Недостатки: больший объем исходных данных, чем при твердотельном моделировании; модель логически менее устойчива, чем твердотельная, т.е. возможно создание противоречивых конструкций; сложности построения вариаций форм.

Моделирование сплошными геометрическими конструктивами (твердотельное моделирование). Сложные объекты представляются составленными из простых объемных примитивов (кубы, цилиндры, конусы, эллипсоиды и др.). Основан на использовании булевых операций. Булевы операции над примитивами позволяют достигать объединения, вычитания и выделения общей части примитивов.

Над примитивами допустимы следующие пространственные операции взаимодействия друг с другом: "+" – объединение, "&" – пересечение, "–" – вычитание.

Объединением или суммой примитивов П₁ и П₂ называется тело, каждая точка которого принадлежит хотя бы одному из объединяющихся примитивов:

() А  (П₁+П₂), если () А  П₁ или () А  П₂.

Пересечением или общей частью примитивов П₁ и П₂ называется тело, каждая точка которого одновременно принадлежит обоим примитивам:

() А  (П₁&П₂), если () А  П₁ и () А  П₂.

Вычитанием примитива П₁ из П₂ называется тело, каждая точка которого принадлежит П₁, но не принадлежит П₂:

() А  (П₁–П₂), если () А  П₁ и () А  П₂.

Л юбой пространственный объект, образованный комбинацией примитивов можно описать структурой, вершиной которой является сам объект, корнями – примитивы, а в узлах ветвей определены операции пространственных комбинаций. Операция "– П" (взятие дополнения) означает, что подразумевают объект, занимающий все трехмерное пространство за исключением точек, принадлежащих поверхности и внутренней области примитива П. Результат операции называют отрицанием примитива. П₁ – П₂ = П₁ & (– П₂).

Множество примитивов П₁, П₂, … , все трехмерное пространство I и пространство нулевого объема Е (пустое пространство) образуют булеву алгебру. Некоторые свойства булевой алгебры:

П₁ + Е = П₁, П₁ & Е = Е

П₁ & I = П₁, П₁ + I = I

П₁ + (–П₁) = I, П₁ & (–П₁) = E

– I = E, –E = I и др.

П ₁ П₂ П₁+П₂ П₁&П₂ П₁-П₂ П₂-П₁

П₁ П₂ П₃ О

Преимущества: простота, малый объем требуемой памяти, невозможность создания противоречивых конструкций, приспособленность к усложнению модели, относительная простота представления частей и сечений общего объекта. Недостатки: метод построения объекта ограничен рамками булевых операций, невозможность использования параметрически описанных поверхностей, сложности создания и обработки объектов, поверхность которых описана функциями более чем второй степени.

Понятие функции принадлежности

Введенные правила задания примитивов позволяют формальными методами определять взаимное расположение любой точки и конкретного примитива. Зная правила объединения примитивов в объект, можно определить взаимное положение точки и объекта. Взаимное положение характеризуется функцией принадлежности (X, Y, Z; Ф), где X, Y, Z – координаты точки; Ф – обозначение примитива, объекта или другой фигуры. Функция  = –1, если точка находится вне объекта Ф,  = 0, если точка лежит на поверхности Ф;  = +1, если точка лежит внутри Ф.

Этот факт зависит от взаимного расположения точки и примитивов и правила пространственного комбинирования примитивов.

Правила определения положения точки

по отношению к комбинации пары примитивов А и В

(А)	(В)	(–А)	(А–В)	(В–А)	(А+В)	(А&В)
–1 –1 –1 0 0 0 1 1 1	–1 0 1 –1 0 1 –1 0 1	1 1 1 0 0 0 –1 –1 –1	–1 –1 –1 0 –1 –1 1 0 –1	–1 0 1 –1 –1 0 –1 –1 –1	–1 0 1 0 0 1 1 1 1	–1 –1 –1 –1 0 0 –1 0 1

Под примитивами А и В понимаются пространственно ограниченные выпуклые трехмерные тела. На основании составленной таблицы формальными методами может быть определено положение точки по отношению к сложному объекту, состоящему из многих примитивов.

Пример. Пусть точка лежит на поверхности С, вне А, внутри В: (С) = 0; (А)=–1; (В)=1. Объект задается описанием О = (А–В)&С. Чисто формально по таблице сначала определяем (А–В)= –1. Далее также по таблице (–1; 0) = –1. Этот результат означает, что точка лежит вне объекта.