2.2.3. Непрерывная случайная величина при сложных гипотезах

Пусть вместо вероятностей гипотез А₁, А₂,…, А_n имеется плотность распределения . Пусть имеется также НСВ Y, которая характеризуется условной плотностью распределения , являющейся функцией от x. Тогда полная и апостериорная плотности вероятности имеют вид:

Пример. y – параметр изделия; двухпараметрическая плотность распределения СВ Y в пределах одной партии изделий с математическим ожиданием x и постоянной дисперсией, не меняющейся от партии к партии; плотность распределения на совокупности партий продукции; – плотность распределения средних значений x параметра y среди партий, из которых извлекли по одному изделию, имеющему одно и то же значение y.

2.3. Функция случайной величины и ее характеристики.

2.3.1. Функция дискретной случайной величины

Пусть известны все возможные значения случайной величины Х и вероятности . Пусть известна также функция . Если между значениями и имеется взаимнооднозначное соответствие, то вероятности . В случае, если нескольким значениям соответствует одно и то же значение , то вероятность определяется как сумма соответствующих вероятностей . Числовые характеристики можно вычислять, не находя , по формулам:

МY= ;

Пример. Известны распределение числа дефектных изделий Х в выборке из партии продукции и зависимость прибыли Y поставщика продукции от Х:

xi	0	1	2		xi	0	1	2
	0,8	0,19	0,01		yi	5	-3	-3

Тогда распределение P(y) определяется таблицей

yj	5	-3
	0,8	0,2

2.3.2. Функция непрерывной случайной величины

Пусть известна функция распределения F(x) или плотность распределения f(x) и функция , являющаяся строго монотонной. Тогда можно выразить обратную зависимость, которую обозначим

Функция и плотность распределения для монотонно возрастающей , учитывая, что Ф(y)≡P(Y<y)=P(X< ), φ(y)= , имеют вид:

,

а для монотонно убывающей , учитывая, что Ф(y)≡P(Y<y)=1-P(X< ):

Числовые характеристики можно вычислять, не находя φ(y), по формулам:

МY= ;

Пример. Пусть если х>0 и f(x)=0, если x≤0, . Тогда ;

,

т.е. если X распределена по логарифмически нормальному закону, то по нормальному.

2.3.3. Линейная функция

Пусть функция случайной величины: .

Тогда вид закона распределения случайной величины Y будет таким же, как и для Х, а математическое ожидание MY и дисперсию DY можно вычислять, не определяя , по формулам:

.

39