Задачи для самостоятельного решения

I. Проверить, образует ли метрическое пространство.

1. ;

2. ;

3. ;

4. ;

5. ;

6. ;

7. ;

8. ;

9. ;

10. - матрицы размером , ;

11. ;

12. - сфера в трехмерном пространстве , - длина хорды, соединяющей точки ;

13. - сфера в трехмерном пространстве , - длина кратчайшей дуги большого круга, проходящего через точки ;

14. ;

15. ;

16. ;

17. ;

18. ;

19. ;

20. .

II. Проверить, можно ли ввести норму указанным образом.

1. ;

2. ;

3. ;

4. ;

5. ;

6. ;

7. ;

8. ;

9. ;

10. ;

11. ;

12. ;

13. ;

14. 

15. ;

16. ;

17. ;

18. ;

19. ;

20. .

III. В пространстве найти проекцию элемента на подпространство, порожденное .

1. ;

2. ;

3. ;

4. ;

5. ;

6. ;

7. ;

8. ;

9. ;

10. ;

11. ;

12. ;

13. ;

14. ;

15. ;

16. ;

17. ;

18. ;

19. ;

20. .

IV. Показать, что оператор ограничен в пространстве , и найти его норму.

1. ;

2. ;

3. ;

4. ;

5. ;

6. ;

7. ;

8. ;

9. ;

10. ;

11. ;

12. ;

13. ;

14. ;

15. ;

16. ;

17. ;

18. ;

19. ;

20. .

V. Найти точечный спектр и собственные функции оператора A в .

1. ;

2. ;

3. ;

4. ;

5. ;

6. ;

7. ;

8. ;

9. ;

10. ;

11. ;

12. ;

13. ;

14. ;

15. ;

16. ;

17. ;

18. ;

19. ;

20. .

VI. Проверить, является ли оператор двукратного дифференцирования , определенный в комплексном пространстве на дважды непрерывно дифференцируемых функциях, удовлетворяющих указанным граничным условиям, симметричным. Каким граничным условиям удовлетворяют функции из области определения сопряженного оператора?

1. ;

2. ;

3. ;

4. ;

5. ;

6. ;

7. ;

8. ;

9. ;

10. ;

11. ;

12. ;

13. ;

14. ;

15. ;

16. ;

17. ;

18. ;

19. ;

20. .

Типовой расчет № 2 «Интегральные уравнения»

I. Для заданного ядра интегрального оператора, заданного на отрезке

1) построить резольвенту Фредгольма тремя способами:

а) с помощью ряда Неймана;

б) с помощью рядов Фредгольма;

в) как для вырожденного ядра.

2) найти характеристические значения и собственные функции двумя способами:

а) как для вырожденного ядра;

б) через особенности резольвенты Фредгольма.

1) Пусть , , .

Речь идет о решении интегрального уравнения

, (1)

где - интегральный оператор с ядром :

, (2)

- заданная функция.

а) Решение уравнения (1) будем искать методом последовательных приближений. Для этого полагаем

,

где функции задаются формулами:

,

для ,

где называется итерированным ядром и определяется как

, (3)

.

Тогда решение уравнения (1) может быть найдено в виде , где - интегральный оператор с ядром , называемым резольвентой Фредгольма. Для резольвенты Фредгольма справедливо равенство

, (4)

где ряд, стоящий справа, называется рядом Неймана.

Найдем последовательно итерированные ядра, следуя формуле (3). Имеем

, ,

,

,

.

Методом математической индукции можно доказать, что итерированные ядра имеют вид:

,

,

где .

Тогда ряд Неймана для резольвенты примет вид

.

б) Резольвента Фредгольма уравнения (1) может быть найдена по формуле:

,

где функции и находятся с помощью рядов Фредгольма:

, ,

,

.

Имеем

,

,

,

так как подынтегральный определитель равен нулю. Очевидно, что при . Следовательно,

.

Далее,

,

,

так как подынтегральный определитель равен нулю. Очевидно, что при . Следовательно,

.

Окончательно, получаем резольвенту

.

в) Перепишем уравнение (1) в виде

.

Введем обозначения

, . (5)

Тогда уравнение (1) равносильно равенству

. (6)

Подставим выражение (6) в равенства (5). Получим систему уравнений для и :

Решение этой системы имеет вид

,

.

Далее, записывая решение (6) уравнения (1), получаем резольвенту Фредгольма

.

2) Пусть , , .

а) Запишем однородное уравнение Фредгольма в виде

.

Вводя обозначения

, ,

получим

.

Тогда для и имеем систему уравнений:

(7)

Из условия существования нетривиального решения

находим характеристические значения .

Так как из (7) следует, что , то подставляя , получаем выражения для собственных функций:

,

где .

б) Известно, что характеристические числа интегрального уравнения являются полюсами резольвенты (как функции от ), а ее коэффициенты рядов Лорана (в выколотых окрестностях этих полюсов) при наибольшей по модулю отрицательной степени дают соответствующие этим значениям собственные функции (как функции от первого аргумента при любом значении ).

Пусть для ядра , , резольвента уже найдена:

.

Числа - ее простые полюса. Имеем для собственной функции

,

где .

Аналогично находится .

II. Решить уравнение или систему уравнений.

.

Применим преобразование Лапласа к левой и правой частям. Обозначим образ функции . Имеем для правой части .

В силу правила дифференцирования оригинала и учитывая данные начальные условия, получим

,

.

Пользуясь свойством умножения изображений, получим

.

Тогда уравнение для образа искомой функции примет вид

.

Решая его, получим . Следовательно, решение исходного уравнения с данными начальными условиями имеет вид .