Министерство образования и науки Российской Федерации
САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ИНФОРМАЦИОННЫХ ТЕХНОЛОГИЙ, МЕХАНИКИ И ОПТИКИ
И.В.Блинова, И.Ю. Попов, Е.С.Трифанова
ТИПОВЫЕ РАСЧЕТЫ
по функциональному анализу
Санкт-Петербург
2011
Блинова И.В., Попов И.Ю., Трифанова Е.С. Типовые расчеты по функциональному анализу. – СПб: СПбГУ ИТМО, 2011. – 24 с.
Методическое пособие содержит два типовых расчета по функциональному анализу. Предназначено для студентов третьего курса ЕНФ и ИТиП, обучающихся по направлению 01.04.00 (Прикладная математика и информатика).
Рекомендовано к печати Советом естественнонаучного факультета СПбГУ ИТМО 01.03.2011 (протокол № 2)
В 2009 году Университет стал победителем многоэтапного конкурса, в результате которого определены 12 ведущих университетов России, которым присвоена категория «Национальный исследовательский университет». Министерством образования и науки Российской Федерации была утверждена Программа развития государственного образовательного учреждения высшего профессионального образования «Санкт-Петербургский государственный университет информационных технологий, механики и оптики» на 2009–2018 годы.
Санкт-Петербургский государственный университет информационных технологий, механики и оптики, 2011
Блинова И.В., Попов И.Ю., ТрифановаЕ.С., 2011
Типовой расчет № 1 «Пространства и операторы»
I.
Проверить, образует ли
метрическое пространство, если
.
Решение.
Для того чтобы определить, является ли
данное пространство метрическим, нужно
проверить, удовлетворяет ли заданная
функция расстояния
,
где
трем аксиомам:
1)
:
,
и
;
2)
:
(аксиома
симметрии);
3)
:
(аксиома
треугольника).
Для данной функции выполнение условий 1) и 2) очевидно. Докажем выполнение аксиомы треугольника, которая примет вид
.
(1)
Введем
обозначения
,
.
Тогда неравенство (1) примет вид
.
(2)
Полученное неравенство следует из неравенства Коши-Буняковского:
.
(3)
Имеем
что равносильно неравенству (2). Следовательно, все три аксиомы выполнены, и данное пространство является метрическим.
II.
Проверить, можно ли ввести норму в
пространстве
,
следующим образом:
.
Решение.
Для того чтобы определить, может ли
заданная функция
являться нормой в пространстве
,
нужно проверить, удовлетворяет ли она
трем условиям:
1)
:
,
причем
;
2)
:
;
3)
:
.
Для данной функции выполнение условия 1) очевидно. Проверим выполнение условия 2). Воспользуемся свойствами модуля и супремума:
,
.
Условие 3) также выполнено:
,
.
Следовательно,
функция
задает норму на пространстве
.
III.
В пространстве
найти проекцию элемента
на подпространство, порожденное
,
если
Решение.
Обозначим
- подпространство, порожденное функциями
.
Тогда
,
где
- проекция
на
,
.
Разложим функцию
по базису
:
и
найдем коэффициенты разложения
и
в этом базисе. Имеем
.
Умножим
это равенство скалярно сначала на
,
а затем на
:
(4)
Вычислим
скалярные произведения, зная, что
.
Имеем
,
,
,
,
.
Для решения системы (4) воспользуемся формулами Крамера. Определители системы
,
,
.
Тогда
,
.
И
окончательно,
.
IV.
Показать, что оператор
:
,
ограничен в пространстве
,
и найти его норму.
Решение.
Докажем ограниченность оператора
.
В пространстве
норма элемента
равна
.
Имеем
при
.
Следовательно, оператор
ограничен.
Норма
оператора
определяется следующим образом:
.
Tогда
получаем
V.
Найти точечный спектр и собственные
функции оператора A:
,
заданного на дважды непрерывно
дифференцируемых функциях с граничными
условиями
в пространстве
.
Решение. Запишем уравнение для определения собственных значений и собственных функций:
,
то есть
.
(5)
Его
решения будут разными в зависимости от
знака выражения
.
Рассмотрим 3 случая:
1)
.
Тогда решение уравнения (5) имеет вид
.
Удовлетворим граничным условиям:
Отсюда
следует, что
,
то есть
,
что противоречит определению собственной
функции.
2)
.
Решение уравнения (5) в этом случае имеет
вид
,
и краевым условиям удовлетворяет только
нулевая функция.
3)
.
Решение уравнения (5) имеет вид
.
Подставляя
краевые условия, получим
и
.
Находим спектр
,
.
Соответствующие собственные функции (принадлежащие ) имеют вид
.
VI.
Проверить, является ли оператор
двукратного дифференцирования
,
определенный в комплексном пространстве
на дважды непрерывно дифференцируемых
функциях
,
удовлетворяющих граничным условиям
,
симметричным. Каким граничным условиям
удовлетворяют функции из области
определения сопряженного оператора?
Решение. Оператор называется симметричным, если выполняется условие
.
(6)
Возьмем
.
Тогда
.
Следовательно, для симметричности
оператора
необходимо
и достаточно выполнения условия
,
то есть
.
(7)
Так
как
,
то функции
удовлетворяют заданным граничным
условиям. Подставим их в (7):
.
Полученное верное равенство равносильно симметричности оператора .
Пусть
- оператор, сопряженный с
.
Он определяется так.
,
если существует элемент (обозначим его
)
такой, что (сравните с условием (6)):
.
Это
условие аналогично условию (7), но
,
а
.
Подставим в (6) условия на функцию
:
.
Поскольку
и
произвольны, получаем граничные условия
на функцию
:
,
откуда следует, что граничные условия
для элемента из области определения
те же, что и для оператора
.