Вказівки до розв’язування деяких задач типового варіанту
Послідовність поданих нижче зразків розв’язання взята відповідно до першого варіанта. В інших варіантах вона змінена.
Посилання на таблицю інтегралів скорочено подається в дужках, наприклад [T3 (10)] – таблиця 3 формула 10. Також, наприклад, (2.7)– означає розділ 2 пункт 7.
До задачі 9
Приклад 1.Варіант “0”:
Скористаємось заміною змінної
1)
Заміна
Перейдемо під знаком інтеграла до змінної t, отримаємо:
Наведемо ще один приклад такого типу.
Аналогічно попередньому виконаємо:
Заміна
Перехід до нової змінної:
Після заміни маємо
До задачі 10.
Варіант 0. Обчислити площу фігури обмеженою параболою і прямою .
Розв’язання. Для наочності використаємо рисунок. Знаходимо точки перетину параболи і прямої.
До задачі 11
Варіант “0”: 1.Обчислити площу фігури, обмеженої лемніскатою (див.рис.)
Pозв’язання. Через те, що фігура симетрична, то для її четвертої частини (заштрихована) кут змінюється від 0 до . Тому
Обчислити площу фігури, обмеженої однією аркою циклоїди (див.рис.) і віссю
Pозв’язання. За формулою в 3.1.2 маємо
3. Обчислити площу фігури, обмеженої лініями
(див.рис.)
Pозв’язання. Згідно формули в 3.1.1,5 маємо:
До задачі 12
Варіант “0”: 1.Обчислити об’єм тіла обертання параболи навколо вісі .Відповідь перевірити за формулою 4 в 3.3.2.
Pозв’язання. Парабола перетинає вісь в точках (див.рис.)
За формулою (1) в II, 3.3.2 маємо
Перевірка. За формулою (4) в II, 3.3.2
До задачі 13
Варіант “0”: Обчислити об’єм тіла, отриманого обертанням фігури Ф навколо вказаної вісі координат.
Pозв’язання.
За формулою (1) II, (3.3.2) маємо
2.
Pозв’язання.
За формулою (2) в II, (3.3.2) маємо
тому
Pозв’язання. Дана лінія-циклоіда
За формулою (3) (див.3.3.2) маємо