Дослідження послідовного резонансного контура

Контур складається з послідовно сполучених елементів R, L, С. Схема послідовного резонансного контура представлена на рис. 20.

Рис. 20. Схема послідовного резонансного контура.

Комплексна функція вхідного опору

Zвх = R + jωL + 1/jωС = R + j[ωL – 1/(ωC)].

(15)

При зміні частоти від 0 до ∞ реактивна складова опору контура змінюється від –∞ до +∞. На частоті ω_о реактивний опір контура дорівнює нулю:

ωоL – 1/(ωоC) = 0

Частота

____ ωо = 1 / √ LC

(16)

називається резонансною частотою. На цій частоті індуктивний опір контура компенсує ємкісний опір, тому комплексний опір (15) стає рівним активною складовою R. Реактивний опір контура

X вх = ωL – 1/(ωC) = ρ (ω/ωo – ωo/ω), де ____ ρ = √ LC = ωoL = 1/( ωoC).

(17)

Величина ρ називається характерним опором контура, який дорівнює реактивному опору індуктивності або ємкості контура на резонансній частоті.

Підставивши (17) в (15) отримаємо

Zвх = R (1 + jξ ), де ξ = Q (ω/ωo – ωo/ω), Q = ρ / R = ωоL / R = 1/( ωоRC).

(18)

Величина ξ називається узагальненим розладом, а величина Q – добротністю резонансного контура, рівна відношенню характеристичного опору контура до активного опору.

На резонансній частоті повний опір контура дорівнює активному, а реактивне – нулю. Це пояснюється тим, що на резонансній частоті напруги на L і C рівні за значенням і протилежні по фазі, тому взаємно компенсуються. Найбільший струм в контурі спостерігається на резонансній частоті.

Комплексна передавальна функція напруги

Кu (jω) = ŮC / Ů1 = [1/(jωC)]/Zвх = –j Q ωо /[ω(1 + jξ)].

(19)

Відповідно, амплітудно-частотна і фазо-частотна характеристики запишуться таким чином:

_______ Кu (ω) = Q ωо /ω √(1 + ξ2), φ(ω) = - π/2 – arctg ξ .

(20)

У радіотехнічних пристроях зазвичай використовують контури з великою добротністю Q >> 1. У таких контурах частотна характеристика представляє інтерес лише при невеликих розладах ∆ω = ω – ω_о, тобто коли ∆ω / ω << 1, а ω_о≈ ω. При цих припущеннях узагальнений розлад і амплітудно-частотну характеристику можна представити як

ξ ≈ Q (2∆ω / ωо), ________________ Кu (ω) = Q / √(1 + (Q 2∆ω / ωо )2.

(21)

На резонансній частоті ω = ω_о максимум амплітудно-частотної характеристики дорівнює добротності контура (амплітуда напруги на конденсаторі в Q разів більше амплітуди вхідної напруги). Тому резонанс в послідовному контурі називають також резонансом напруги. Смуга пропускання контура визначається частотами ω₁ і ω₂ між котрими

__ Кu (ω) = Q / √ 2.

Із (21) можна визначити смугу пропускання, котра дорівнює

П = ωо / Q .

(22)

Смуга пропускання контура прямо пропорційна резонансній частоті і назад пропорційна добротності.

Годограф комплексної передавальної функції контура представлений на рис. 21. Оскільки вихідний струм збігається з вхідним, передавальна функція струму послідовного резонансного контура K_i = 1.

Рис. 21. Годограф комплексної передавальної функції контура.

Завдання. Зібрати схему, представлену на рис. 20. Змінюючи значення R, С і L, зняти амплітудно-частотні і фазо-частотні характеристики послідовного контура. Вивчити вплив параметрів контура на його характеристики – резонансну частоту, добротність, смугу частот.

Порядок виконання (1 спосіб).

1). Підготовка схеми виміру. Виставити значення опору, індуктивності і ємкості, вказані на рис. 20. У меню Analysis вибрати режим AC Frecuensy – режим аналізу амплітудно-частотних і фазо-частотніх характеристик. У вікні, що з'явилося, встановити вказані параметри моделювання (рис. 22).

Рис.22. Налаштування параметрів вимірювань.

У даному прикладі частота вхідного сигналу мінятиметься від 1 Гц до 20 кГц. Амплітуда сигналу в крапці 3 схеми (Nodes for analysis) і зрушення фаз сигналів відкладатимуться по вертикальній і горизонтальній осях в лінійному масштабі (Linear).

2). Виміри. Натискувати кнопку Simulate (рис. 22). На екрані з'явитися вікно, в якому будуть представлені амплітудно-частотна (верхня) і фазо-частотна (нижня) характеристики для заданих параметрів послідовного коливального контура (рис. 23). За допомогою візирних ліній (методика детально описана в роботі №8) оцінити резонансну частоту. Для точніших вимірів знов в меню Analysis вибрати режим AC Frecuensy. У вікні (рис.22), що з'явилося, встановити Fstart=4 кГц, Fstop=6 кГц. Натиснути кнопку Simulate. У вікні, що з'явилося (рис. 24) будуть представлені характеристики контура у вигляді, зручнішому для вимірів.

Використовуючи описану методику, виміряти і занести в таблицю 12, параметри амплітудно-частотної і фазо-частотної характеристик послідовного контура для наступних значень елементів:

А). R=0,1 Ом, С=1 мкФ и L= 0,1 …..10 мГн;

Рис. 23. Характеристики послідовного коливального контура.

Б). R=0,1 Ом, L= 1 мГн и , С=0,1……10 мкФ;

В).L= 1 мГн , С=1 мкФ и R =0,01 …….10 Ом.

Табл.12

		f1,Гц	f2,Гц		fn,Гц	ωo	Q
R=….. L=….. C=…..	Кu
	φ,град

Рис. 24. Вимір параметрів послідовного коливального контура

Порядок виконання (2 спосіб).

1). Підготовка схеми виміру. Зібрати схему і виставити значення опору, індуктивності і ємкості, вказані на рис. 25.

Двічі клацнути лівою клавішею миші по зображенню плоттера. На екрані з'явиться зображення передньої панелі плоттера (рис. 26). На передній панелі вибрати лінійний масштаб по вертикальній і горизонтальній осі (Lin) і вимірювану величину – коефіцієнт передачі по напрузі (Magnitude). У лівому вікні вибираються мінімальне (I) і максимальне (F) значення коефіцієнта передачі, в правом – мінімальну (I) і максимальну (F) частоти досліджуваного діапазону. Це найбільш важке завдання. Заздалегідь доцільно оцінити резонансну частоту і добротність контура по приведених вище формулах. У наведеному прикладі (рис. 26) межі виміру коефіцієнта передачі 0-50, діапазон частот – 4-6 кГц.

2). Виміри. Після установки вказаних параметрів, натиснути кнопку

.

Рис. 25. Схема виміру за допомогою плоттера (вимірника АЧХ і ФЧХ).

.

Рис. 26. Передня панель плоттера (вимір АЧХ).

На екрані плоттера з'явиться зображення амплітудно-частотна характеристика. Пересуваючи візирну лінію (утримуючи такою, що натискує ліву кнопку миші) або за допомогою кнопок

,

виміряти параметри характеристики (значення коефіцієнта передачі і відповідної йому частоти можна прочитати в нижньому вікні на передній панелі плоттера).

Для виміру параметрів фазо-частотної характеристики контура необхідно натиснути кнопку Phase (рис.27).

Рис. 27. Передня панель плоттера (вимір ФЧХ).

Використовуючи описану методику, виміряти і занести в таблиці 12 параметрів амплітудно-частотної і фазо-частотної характеристик послідовного контура для наступних значень елементів:

А). R=0,1 Ом, С=1 мкФ і L= 0,1 …..10 мГн;

Б). R=0,1 Ом, L= 1 мГн і , С=0,1……10 мкФ;

В).L= 1 мГн , С=1 мкФ і R =0,01 …….10 Ом.

Аналіз результатів.

За результатами вимірів побудувати амплітудно-частотні і фазо-частотні характеристики, а також годографи комплексної передавальної функції послідовного резонансного контура.

Побудувати залежності характеристик контура – резонансної частоти, добротності, смуги частот від значень R, L і C.

Робота №14.

Дослідження паралельного резонансного контура

Паралельним коливальним контуром називається електричний ланцюг, в яких індуктивності і ємкості розподілені по двох паралельних гілках, підключених паралельно до джерела енергії. Принципові схеми контурів будь-якого вигляду можна замінити схемами заміщення двох видів (показані на рис. 28 а і б).

а). б).

Рис. 28. Схеми паралельних коливальних контурів.

Розглянемо схему, представлену на рис. 28б. Комплексна функція вхідного опору

Zвх(jω)= (R + jωL)(1/jωС) / [R + jωL+ 1/(jωC)].

(23)

На частотах, близьких до резонансної (ω ≈ ω_о), і великих добротностях контура (Q >>1) справедлива нерівність R<<ω₀L.

Тоді із урахуванням (17)-(18) комплексна функція вхідного опору

Zвх(jω) = R0e /(1+jξ).

(24)

На частоті резонансу вхідний опір паралельного резонансного контура має чисто резистивний характер. Резонансний опір паралельного контура R_0e у Q² раз перевищує опір втрат послідовного коливального контура:

R0e = L/(RC) = ρ2/R = ρQ = RQ2.

(25)

Частотна характеристика повного вхідного опору

______ Zвх(ω) = R0e / √(1+ξ2),

(26)

а фазо-частотна характеристика

φ(ω) = – arctg ξ.

(27)

Резонанс в паралельному контурі спостерігається на частоті, при якій реактивна складова вхідного опору дорівнює нулю і комплексний опір речовий. У (24) це буде при ξ =0, тобто на резонансній частоті послідовного контуру (16). Вираз (24) вірний при R<<ω₀L . Точніший вираз для резонансної частоти можна отримати прирівнюючи нулю праву частину (23):

_________ ω0п = ω0 √ 1 – 1/Q2 .

(27)

Із (27) витікає, що резонансна частота паралельного контура при обліку опору втрат менше резонансної частоти послідовного контура.

Передавальна функція паралельного контура по струму дорівнює

КI (jω) = ỈC / Ỉ1 = jωCZвх(ω) = j Q ω /[ω0(1 + jξ)].

(28)

Так як Ů_C = Ů₁ , передавальна функція по напрузі К_U (jω)=1. У паралельному коливальному контурі на резонансній частоті струм в контурі I_С у Q раз більше вхідного струму (тобто в паралельному контурі є резонанс струмів).

Завдання. Зібрати схему, представлену на рис. 29. Змінюючи значення R, С і L, зняти амплітудно-частотні і фазо-частотні характеристики паралельного контура. Вивчити вплив параметрів контура на його характеристики – резонансну частоту, добротність, смугу частот.

Порядок виконання .

Як наголошувалося вище, в паралельному коливальному контурі спостерігається резонанс струмів, тому на контур подається сигнал з джерела струму J1(коефіцієнт передачі по напрузі дорівнює 1). Для виміру струмів можна скористатися джерелами напруги, керованими струмом (IU1 і IU2 на рис. 29). Напруга на виході цих елементів пропорційно струмам, що протікають в первинному ланцюзі цих джерел. Коефіцієнт передачі цих джерел дорівнює відношенню вихідної напруги до струму в первинному ланцюзі і має розміреність Ом. У даному прикладі цей коефіцієнт рівний 1В/1А=1 Ом. Таким чином сигнали, що подаються на вхід вимірювальних приладів (осцилографа і плоттера), будуть пропорційні струмам, що протікають у вхідному ланцюзі і через ємкість відповідно.

На плоттері зручно спостерігати і вимірювати АЧХ і ФЧХ. За допомогою осцилографа можна спостерігати співвідношення між вхідним і вихідним сигналом (сигнали пропорційні струмам !!!). Для цих досліджень необхідно міняти частоту джерела струму J1.

Рис. 29. Схема виміру параметрів паралельного коливального контура.

Способи виміру за допомогою опцій меню Analysis і вимірника АЧХ і ФЧХ детально викладені в роботі 12

Використовуючи описані методики, виміряти і занести в таблиці 13 параметрів амплітудно-частотної і фазо-частотної характеристик паралельного контура для наступних значень елементів:

А). R=0,1 Ом, С=1 мкФ і L= 0,1 …..10 мГн;

Б). R=0,1 Ом, L= 1 мГн і , С=0,1……10 мкФ;

В).L= 1 мГн , С=1 мкФ і R =0,01 …….10 Ом.

Аналіз результатів.

За результатами вимірів побудувати амплітудно-частотні і фазо-частотні характеристики, а також годографи комплексної передавальної функції послідовного резонансного контура.

Побудувати залежності характеристик контура – резонансної частоти, добротності, смуги частот від значень R, L і C.

Табл.13

		f1,Гц	f2,Гц		fn,Гц	ωo	Q
R=….. L=….. C=…..	Кu
	φ,град

Робота №15