Непрерывная случайная величина. Функции распределения. Плотность вероятностей. Их свойства. Вероятность попадания в заданный интервал. Примеры.

Для непрерывной случайной величины построение таблицы распределения невозможно. Поэтому для задания используют ф-ию распределения. Пусть Х – нсв, Х R, Х<x. Вер-ть этого события есть ф-ия от х. F(x)=P(X<x). Интегральная ф-ия распределения нсв Х – ф-ия F(x), равная вер-ти того, что в рез-те испытаний случайная величина Х примет значение меньше х. Геометрическая интерпретация: F(x) есть вер-ть того, что случайная величина примет значение, кот изображено на числовой оси точкой, лежащей левее точки х. НСВ назыв случайной величиной, если ф-ия распределения есть непрерывная, кусочно дифференцируемая ф-ия с непрерывной производной. Св-ва ф-ии интегрального распределения: 1) значения ф-ии распределения принадлежат отрезку [0;1]: . Док-во: вер-ть всегда есть неотрицательное число, не превышающее единицы. 2) F(x) – неубывающая ф-ия, т.к. , отсюда . Док-во: . , или . Т.к. любая вер-ть есть число неотрицательное, то , что и требовалось доказать. Следствие 1: Вер-ть того, что случайная величина примет значение, заключенное в интервале (a,b), равна приращению ф-ии распределения на этом интервале: если , то . Пр: Случайная величина Х задана ф-ей распределения

Найти вер-ть, того что в результате испытания Х примет значение, принадлежащее интервалу (0,2): . Решение: т.к. на интервале (0,2), по условию F(x)= , то . Получим . Следствие 2: Вер-ть того, что нсв Х примет одно определенное значение равно 0: если , то . . 3) если возможные значения случайной величины принадлежат интервалу (a,b), то: 1) F(x)=0, при ; 2) F(x)=1, при . Док-во: 1) пусть , тогда невозможно (т.к. значений меньше , величина Х по условию не принимает) и, следовательно, вер-ть его равна 0. 2) пусть , тогда событие достоверно (т.к. все возможные значения Х меньше ). Следствие: если возможные значения нсв расположены на всей оси х, то справедливы следующие предельные соотношения: .

НСВ м также задать, используя ф-ию, кот назыв плотностью распределения или плотностью вер-ти (дифференцируемая ф-ия распределения нсв). Плотность распределения вер-тей нсв Х – ф-ия f(x) – первая производная от ф-ии распределения F(x): . Ввиду того, что F(x) – неубывающая ф-ия, . F(x) – первообразная от f(x). Теорема: Вер-ть того, что нсв Х примет значение, принадлежащее интервалу (a,b), равна определенному интегралу от плотности распределения, взятому в пределах от a до b: . Док-во: - формула Ньютона-Лейбница. Геометрическая интерпретация: представляет собой площадь прямоугольной трапеции, ограниченной графиком y=f(x), отрезками y=0, x=a и x=b. Следствие: если f(x) – четная ф-ия и концы интервала симметричны относительно начала координат, то: . Пр: задана плотность вер-ти случайной величины Х

. Найти вер-ть того, что в рез-те испытания Х примет значение, принадлежащее интервалу (0,5;1). Решение: искомая вер-ть . Св-ва: 1) плотность распределения – неотрицательная ф-ия: . График плотности распределения назыв кривой распределения. 2) несобственный интеграл от плотности распределения в пределах от до равен 1: . Этот интеграл выражает вер-ть события, состоящего в том, что случайная величина примет значение, принадлежащее интервалу ( ). Это событие явл достоверным, и его вер-ть равна 1. Геометрически это означает, что вся площадь криволинейной трапеции, ограниченной осьб Ох и кривой распределение, равна 1. В частности, если все возможные значения случайной величины принадлежат интервалу (а,b), то .