Повторение независимых испытаний. Асимптотические формулы. Локальная и интегральная теоремы Лапласа. Примеры.
Чтобы
избежать громоздких вычислений,
используют лок.теорему Лапласа, кот.
позволяет приближенно вычислить вер-ть
события k
раз в n
независимых испытаниях с помощью
ассимптотич.формул: 
=1.
Лок.теорема: Если вер-ть р появления
соб.А в каждом испытании постоянна и
отлична от 0 и 1,то вер-ть
(k)
того, что соб.А появится в n
испытаниях ровно k
раз, приближенно равна значению функции:
y=
*
*
=
*φ(x),
при х = 
.
Итак, вер-ть того, что событие А появится
в n
независимых испытаниях ровно k
раз, приближенно равна
(k)
≈
*φ(x),
где х = 
.
Пр: вер-ть поражения мишени стрелком
при одном выстреле равна р=0,75,найти
вер-ть того, что при 10 выстрелах стрелок
поразит мишень 8 раз: по условию – n=10,
k=8,
p=0,75,
q=0,25,
по формуле Лапласа: 
=
=0,36,
по табл.φ(0,36)=0,3739, поэтому
=0,7301*0,3739=0,273.
Интегральная теорема Лапласа: если
вер-ть p
наступления события А в каждом испытании
постоянна и отлична от 0 и 1,то вер-ть
Рn(
,
)того,что
соб.А появится в n
испытаниях от
до k2
раз, приближенно равна опред.интегралу
(
,
)=
dz,
где x'=
и x''=
.
Пр: вер-ть того, что деталь не прошла
проверку равна p=0,2,
найти вер-ть того, что среди 400 случайно
отобранных деталей окажется непроверенных
от 70 до 100: по условию p=0,2,
q=0,8,
n=400,
=70,
=100
по инт.теореме Лапласа: 
,
=
=
=-1,25,
=
=
=2,5.
Т.о., 
(70,100)=Ф(2,5)-Ф(-1,25)=Ф(2,5)+Ф(1,25)
по табл. Ф(2,5)=0,4938, Ф(1,25)=0,3944 и
ответ:
(70,100)=0,4938+0,3944=0,8882
Дискретные случайные величины. Закон распределения. Полигон распределения. Примеры построения дискретной случайной величины.
ДСВ - СВ, кот принимает отдельное изолированное возможное с опред. вер-тями, число возможных значений. ДСВ м.б. конечным или бесконечным. В задании ДСВ требутся перечислить не только всевозможные значения, но и указать их вер-ть, т.к. СВ м иметь одинаковые списки возможных значений, у кот вер-ти различны. Законом распределения ДСВ назыв соответствие м/у возможными значениями и их вер-тями. При табличном задании закона распределения ДСВ 1-ая строка - возможные значения, а 2-ая-их вер-ти:
Х |
|
|
… |
|
р |
|
|
… |
|
=0,их
вер-ти:
=0,01,
=0,1,
=1-(
+
)=0,89
Х |
50 |
10 |
0 |
р |
0,01 |
0,1 |
0,89 |
а
затем соед. Их отрезками прямых и
получается многоугольник распределения.
Основные дискретные распределения:1)
равномерное: такое распределение вер-ти
СВ Х, приним.n
знач. задается формулой:
(X=
)=1/n,
где х1,х2…
–
все возможные значения СВ, 2) биномиальное:
пусть производится n
независимых испытаний в каждой из кот.
событие А может появиться с вер-тью р
или не появиться с вер-тью q=1-р,тогда
вер-ть того, что в n
независимых испытаний соб.А появится
к раз вычисляется по ф.Бернулли
(К)=
тогда считая СВ Х число появлений соб.А
в n
испытаниях. Получаем, что она м.принимать
возм.знач. из множества: 0,1,2,..,n.Биномиальное
распределение имеет вид:
Х |
0 |
1 |
2 |
… |
k |
… |
n |
Р |
|
np |
|
… |
|
… |
|
=
=0,25;
(1)=
=2(1/2)*(1/2)=0,5;
(0)
= 
=
=0,25
получается 0,25+0,5+0,25=1
Х |
2 |
1 |
0 |
Р |
0,25 |
0,5 |
0,25 |
эта формула применима д/вычислений
вер-тей массовых (n-велико)
и редких (p
мало) событий. Пр: завод отправил на базу
5000 доброкачественных изделий, вер-ть
того, что в пути изделие повреждено
равно 0,0002, найти вер-ть того, что на базу
прибудут 3 негодных изделия:n=5000,
p=0,0002,
k=3,
λ=np=5000*0,0002=1,
по ф.Пуассона вер-ть приближенно
равна:
(3)=
=
=1/6e=0,06