Формула полной вероятности. Формула Байеса. Примеры.

Пусть событие А м наступить при условии появления одного из несовместных событий B₁, B₂,…, B_п, образующих полную группу. Пусть известны вер-ти этих событий и условные вер-ти события А. Теорема . Вероятность события А, кот м наступить лишь при условии появления одного из несовместимых событий B₁, B₂,…, , образующих полную группу, равна сумме произведений вер-тей каждого из этих событий на соответ-щую условную вер-ть события А: . Это формула полной вер-ти.

Док-во: по условию, событие А м наступить, если наступит одно из несовместимых событий B₁, B₂,…, . Т.е. появление события А означает осуществление одного из несовместимых событий А, ,…, . Пользуясь д/вычисление вер-ти события А теоремой сложения, получим . По теореме умножения вер-тей зависимых событий имеем . Подставив, получим формулу полной вер-ти .

Пр: Имеется 2 набора деталей. Вер-ть того, что деталь 1-го набора стандартна, равна 0,8, а 2-го – 0,9. Найти вер-ть того, что взятая наудачу деталь – стандартная. Решение: Событие А – извлеченная деталь стандартна. Деталь м.б. извлечена либо из 1-го набора (событие ), либо из 2-го (событие ). Вер-ть того, что деталь вынута из 1-го набора, равна ½, т.е. . Вер-ть того, что деталь вынута из 2-го набора, тоже равна ½, т.е. . Условная вер-ть того, что из 1-го набора будет извлечена стандартная деталь, равна 0,8, т.е. . Условная вер-ть того, что из 2-го набора будет извлечена стандартная деталь, равна 0,9, т.е. . Искомая вер-ть того, что извлеченная наудачу деталь – стандартная, по формуле полной вер-ти равна .

Формула Байеса. Пусть событие А м наступить при условии появления одного из несовместимых событий B₁, B₂,…, , образующих полную группу. Поскольку неизвестно, какое из них наступит, то их назыв гипотезами. Вер-ть появления события А определяется по формуле полной вер-ти: . Найдем условные вер-ти . По теореме умножения имеем . Отсюда . Заменим по формуле полной вер-ти и получим . Формулы Бейеса позволяют переоценить вер-ти гепотез после того, как становится известным рез-т испытания, в итоге кот появилось событие А.

Пр: Детали изготовляемые цехом завода, попадают д/проверки их на стандартность к одному из двух контролеров. Вер-ть того, что деталь попадает 1-му контролеру, равна 0,6, а ко 2-му – 0,4. Вер-ть того, что годная деталь будет признана стандартной первым контролером, равна 0,94, а вторым – 0,98. Годная деталь при проверке была признана стандартной. Найти вер-ть того, что эту деталь проверил первый контролер. Решение: Событие А – годная деталь признана стандартной. М сделать 2 предположения: 1) деталь проверил 1-ый контролер ( ), 2) деталь проверил 2-ой контролер ( ). Искомую вер-ть того, что деталь проверил первый контролер, найдем по формуле Бейеса: . , , , . Искомая вер-ть :

Повторение независимых испытаний. Формула Бернулли. Примеры.

Если производится несколько испытаний, причем вер-ть соб. А в каждом испытании не зависит от исходов др.испытаний, то такие испытания назыв независимыми относительно соб.А. Будем рассматривать такие независимые испытания, в кот соб.А имеет одну и ту же вер-ть. Сложное событие - совмещение нескольких отдельных простых событий. Пусть в каждом из n независимых испытаний, соб.А м появится с вер-тью р и не появиться с вер-тью q.Поставим задачу вычислить вер-ть того, что в n независимых испытаниях, соб.А наступит k раз и не наступит n-k раз. По теореме умножения вер-тей независимых событий она равна и таких сложных соб. М.б. столько, сколько м составить сочетаний из n эл-тов по k эл-тов, т.е. . Формула Бернулли: (k)= , или . Пр: Вер-ть того, что расход электроэнергии в течение 1 суток не превысит установленной нормы, равна p=0,75,найти вер-ть того, что в ближ.6 суток расход э/э в течение 4 суток не превысит нормы: вер-ть перерасхода э/э в каждые сутки равна q=1-p=1-0,75=0,25, по ф.Бернулли: (4)= = =6* *2* * =0,30