Интервальные оценки. Доверительный интервал для оценки математического ожидания. Распределение Стьюдента.

Интервальной назыв оценку, кот определяется двумя числами — концами интервала, кот с определенной вер-тью накрывает неизвестный параметр генер-ной сов-ти. Интервал, содержащий оцениваемый параметр генеральной совокупности, называют доверительным интервалом. Для его определения вычисляется предельная ошибка выборки , позволяющая установить предельные границы, в которых с заданной вероятностью (надежностью) д находиться параметр генер-ой сов-ти. Предельная ошибка выборки равна t-кратному числу средних ошибок выборки. Коэффициент t позволяет установить, насколько надежно высказывание о том, что заданный интервал содержит параметр генеральной совокупности. Если выбирается коэффициент таким, что высказывание в 95% случаев окажется правильным и только в 5% — неправильным, то говорится, что: со статистической надежностью в 95% доверительный интервал выборочной статистики содержит параметр генеральной совокупности. Для оценки математического ожидания нормально распределенного количественного признака X по выборочной средней при неизвестном среднем квадратическом отклонении генеральной совокупности (на практике — при малом объеме выборки, т. е. при n < 30) и собственно-случайном повторном отборе формула имеет вид , где t определяется по таблицам Лапласа, из соотношения ; — среднее квадратическое отклонение; n — объем выборки.

Распределение Стьюдента получило свое название от псевдонима Student, которым английский ученый Госсет подписывал свои работы по статистике. Пусть Z – нормальная случайная величина, причем M(Z)=0, (Z)=1, а V – независимая от Z величина, кот распределена по закону с k степенями свободы. Тогда величина имеет распределение, кот назыв t-распределением или распределением Стьюдента с k степенями свободы. Итак, отношение нормированной нормальной величины к квадратному корню из независимой случайной величины, распределенной по закону «хи квадрат» с k степенями свободы, деленной на k, распределено по закону Стьюдента с k степенями свободы. С возрастанием числа степеней свободы распределение Стьюдента быстро приближается к нормальному.

Статистическая, корреляционная и функциональная зависимости. Уравнения регрессии. Примеры.

Две случайные величины м.б. связаны либо функциональной зависимостью, либо зависимостью другого рода, назыв статической, либо быть независимыми. Строгая функц-ая завис-ть реализуется редко, т.к. обе величины или одна из них подвержены еще действию случайных факторов, причем среди них м.б. и общие д/обеих величин. В этом случае возникает статическая завис-ть. Например, если Y зависит от случайных факторов а X зависит от случайных факторов , то между Y и X имеется статическая завис-ть, т.к. среди случайных факторов есть общие, а именно . Статической назыв завис-ть, при кот изменение одной из величин влечет изменение распределения другой. В частности статическая завис-ть проявляется в том, что при изменении одной из величин изменяется среднее значение другой; в этом случае стат-ую завис-ть назыв корреляционной. Пример: Пусть Y – урожай зерна, X – кол-во удобрений. С одинаковых по площади участков земли при равных кол-вах внесенных удобрений снимают различный урожай, т.е Y не явл ф-ей от X. Это объясняется влиянием случайных факторов (осадки, влажность, температура воздуха и т.д.). Вместе с тем, как показывает опыт, средний урожай явл ф-ей от кол-ва удобрений, т.е. Y связан с X корреляционной завис-тью.

Уравнения регрессии Yна X и X на Y: М(Y|х)=f(x), М(X|y)= (y). Условное мат-ое ожидание М(Y|х) явл ф-ей от х, следовательно, его оценка, т.е. условное среднее *(х). Это уравнение назыв выборочным уравнением регрессии Y на X; ф-ию *(х) назыв выборочной регрессией Y на X, а ее график – выборочной линией регрессии Y на X. Аналогично уравнение *(y) назыв выборочным уравнением регрессии X на Y; ф-ию *(х) назыв выборочной регрессией X на Y, а ее график – выборочной линией регрессии X на Y.