Оценка числовых хар-к. Состоятельность, несмещенность и эффективность оценок. Оценка математического ожидания. Примеры.

Пусть требуется изучить колич-ый признак генер-ой сов-ти. Допустим, что из теоретического соображения удалось установить, какое именно распределение имеет признак. Возникает задача оценки параметров, кот определяет это распределение. . Статическая оценка неизвестного параметра теор-го распределения – ф-ия от наблюдаемых случайных величин. Для того чтобы стат-ие оценки давали «хорошие» приближения оцениваемых параметров, они д удовлетворять определенным требованиям. Пусть* - стат-ая оценка неизвестного параметра теорит-го распределения. Допустим, что по выборке объема n найдена оценка *. Повторим опыт, т.е. извлечем из генер-ой сов-ти др выборку того же объема и по ее данным найдем оценку *. Повторяя опыт многократно, получим числа *, *…, *, кот различны м/у собой. Т.о., оценку * м рассматривать как случайную величину, а числа *, *…, * - ее возможные значения. Оценка* дает приближенное значение с избытком; тогда каждое найденное по данным выборок число *(i=1,2,…,k) больше истинного значения . Ясно, что в этом случае и мат ожидание случайной величины * больше, чем , т.е. М(*)>. Очевидно, что если * дает оценку с недостатком, то М(*)<. Т.о. испытание стат-ой оценки, мат ожидание кот не равно оцениваемому параметру, привело бы к стат-им ошибкам. Несмещенной назыв стат-ая оценка * мат ожидание кот равно оцениваемому параметру при любом объеме выборки. М(*)=. Смещенной назыв оценку, мат ожидание кот не равно оцениваемому параметру. Эффективной назыв статическая оценка, кот имеет наименьшую возможную дисперсию. Состоятельной назыв статическая оценка, кот при стремится по вер-ти к оцениваемому параметру. Например, если дисперсия несмещенной оценки при стремится к нулю, то такая оценка оказывается и состоятельной.

Выборочная и исправленная дисперсии. Другие хар-ки вариации данных. Исправленная дисперсия среднего значения. Примеры.

Выборочная дисперсия - среднее арифметическое квадратов отклонения наблюдаемых значений признака от их средних значений . Если все значения признака выборки объема n различны, то . Если же значения признака имеют соответственно частоты , причем , то , т.е. выборочная дисперсия есть средняя взвешенная квадратов отклонения с весами, равными соответствующим частотам. Выборочным средним квадратическом отклонением назыв квадратный корень из выборочной дисперсии .

Если «исправить» выборочную дисперсию так, чтобы ее мат-ое ожидание было равно генеральной дисперсии, т.е. умножить на дробь , то получим исправленную дисперсию, кот обозначается через . =. Исправленная дисперсия явл несмещенной оценкой генер-ой дисперсии. . Итак, в качестве оценки генер-ой дисперсии принимают исправленную дисперсию . Для оценки среднего квадратического отклонения генер-ой сов-ти используют «исправленное» среднее квадратическое отклонение, кот равно квадратному корню из исправленной дисперсии .