Практичне заняття

Тема. ТОЧКОВІ ТА ІНТЕРАВЛЬНІ ОЦІНКИ ПАРАМЕТРІВ РОЗПОДІЛУ

Мета: закріплення на практиці таких понять як "незсуненість", "конзістентність" та „ ефективність” точкових оцінок параметрів дискретних та неперервних розподілів; набуття навичок у використанні можливостей пакетів MathCAD та Statgraphics для обчислення точкових оцінок параметрів розподілів та побудови їх довірчих інтервалів, зокрема з використанням стандартних функцій для розрахунку квантилів.

Короткі теоретичні відомості

Визначення. Нехай існує вибірка . Точковою оцінкою невідомого параметра називається число (функція) , причому – випадкова величина, – постійне число.

Визначення. Оцінка є незсуненою, якщо .

Визначення. Оцінка є асимптотично незсуненою, якщо .

Визначення. Оцінка є конзістентною, якщо

або .

Визначення. Оцінка називається ефективною, якщо вона має мінімальну можливу дисперсію при заданому об'ємі вибірки .

Визначення. Інтервальною називається оцінка, яка визначається двома числами – кінцями інтервалу.

Нехай – оцінка параметра , тобто . Зрозуміло, що чим , тим точніша точкова оцінка . Якщо і , то чим , тим точніша оцінка. Нерівність не здійснюється суворо, а з імовірністю .

Визначення. Надійністю (довірчою ймовірністю) оцінки за називають імовірність , з якою здійснюється нерівність , тобто

.

Визначення. Вираз називають довірчим інтервалом, який покриває параметр , що оцінюється, з надійністю .

Методичні рекомендації. Перш ніж приступати до виконання індивідуального завдання, необхідно опрацювати матеріал лекцій № 1-3 розділу «Математична статистика» курсу «Теорія ймовірностей та математична статистика», електронна версія якої міститься на веб-сервері кафедри. Далі отримати варіант завдання у викладача. Після цього приступити до опрацювання пункту методичних вказівок «Постановка задачі» та вивчення відповідного прикладу виконання завдання в середовищі MathCAD ( додаток А), електронна версія якого також міститься на веб-сервері кафедри у розділі «Методичні вказівки до самостійної роботи». Наступним етапом є виконання індивідуального завдання в середовищі MathCAD, а потім у середовищі Statgraphics. Після цього приступити до оформлення звіту.

Постановка задачі

Випадкова величина має розподіл , вектор параметрів якого відомий. Пропонується ряд виразів для оцінювання параметрів розподілу. Обґрунтувати теоретично, які саме оцінки із запропонованих відповідають вимогам незсуненості, конзістентності (обґрунтованості) та ефективності й підтвердити за допомогою моделювання результати теоретичних міркувань. Для параметрів розподілу побудувати довірчі інтервали.

У теоретичній частині необхідно:

1. Знайти функцію розподілу запропонованої оцінки.

2. Знайти щільність розподілу (для неперервних випадкових величин).

3. Визначити математичне сподівання та перевірити умову незсуненості (асимптотичної незсуненості) оцінки.

4. Знайти дисперсію та перевірити умову конзістентності (обґрунтованості) оцінки.

5. Визначити ефективну оцінку з ряду запропонованих.

У частині проведення моделювання необхідно:

1. Згідно з варіантом за допомогою генератора випадкових чисел згенерувати послідовно вибірки випадкової величини з розподілом завдовжки n=3, 5, 7, 10, 20, 30, 40, 50, 60 70, 80, 90, 100, 200, 300, 400, 500, 1000, 10000.

2. Обчислити (у пакеті MathCAD): запропоновані точкові оцінки вектора параметрів розподілу , вибіркове математичне сподівання , вибіркову дисперсію , виправлену вибіркову дисперсію , вибіркове СКВ , виправлене вибіркове СКВ , вибірковий центральний теоретичний момент 3-го і 4-го порядків, вибіркову асиметрію та вибірковий ексцес для кожного зі значень n, згідно з п. 1. Результати звести до таблиці:

Таблиця – Теоретичні та емпіричні (вибіркові) числові характеристики для різних об­­’ємів вибірки

Назва характеристики	Теоретичне значення	Вибіркові значення, n=3	n=5	...	n=10000
...	...	...	...	...	...
дисперсія
Виправлена дисперсія	-
СКВ
Виправлене СКВ	-
Центральний момент третього порядку
Центральний момент четвертого порядку

3. Побудувати на одному графіку згідно з п. 2 (для кожного параметра окремо) (у пакеті MathCAD):

• залежності значень кожної оцінки від об’єму вибірки;

• константу теоретичного значення параметра;

• межі довірчого інтервалу для та .

4. Дослідити динаміку збіжності емпіричних оцінок відповідних параметрів до своїх теоретичних значень, зробити висновки.

5. Скласти електронний звіт у форматі Microsoft Word згідно з вимогами ЄСКД. Структура звіту:

• Титульна сторінка.

• Постановка задачі.

• Короткі теоретичні відомості стосовно досліджуваного розподілу та методів розрахунків.

• Детальна схема виконання лабораторної роботи з необхідними екранними формами і поясненнями згідно з робочим завданням, результатами аналізу.

• Висновки.

• Перелік посилань.

До звіту додати:

• Файл Microsoft Excel (за необхідності) з матрицею згенерованих даних.

• Файл у форматі MathCAD 11 зі статистичними проектами.