3. Множества и отношения.

Понятие отношения между двумя объектами широко употребляется в математике и ее приложениях. Рассматриваются отношения: параллельности, перпендикулярности между прямыми; строгого или нестрогого неравенства между числами и т. д. (a b, a  b, x < y, x  y ) .

Пусть А и В - два множества. Подмножество декартова произведения множеств А и В называется бинарным отношением R между элементами множеств А и В (из множества А в множество В), т.е. R A  B.

То, что элементы a, bB находятся в отношении R , записывают (a; b)  R или a R b.

Некоторые отношения имеют специальные обозначения: =, <, , >, ,  ,  и др. Так как, напр., 6 < 7, то естественной становится запись 6 R 7, где R - отношение "меньше" на N, но возможен другой вариант записи, а именно, (6; 7) R. Таким образом, R несет двойную смысловую нагрузку: обозначение отношения (свойство связи между 2-мя элементами) и множества.

Если A = B = X, то подмножество X² определяет отношение на X, т.е. отношение между двумя элементами одного множества X (отношение на-в множестве X).

Отношение можно задавать как множество (так как оно таковым является), но для представления отношений в ЭВМ полезен способ задания отношения с помощью матрицы. Пусть X - n -элемент-ное множество и R - отношение на нем. Перенумеруем элементы множества X числами от 1 до n и построим квадратную матрицу C размером nn , называемую матрицей инцидентности отношения R. Ее i-я строка соответствует i-му элементу множества X, а j-й столбец - j-му элементу множества X. Тогда C = (c_ij ), где

Следующие отношения на множестве X имеют названия:

- пустое, обозначаемое через , если .

- полное (выполняемое для всех пар ), если R = X² , т.е. .

- диагональное, или отношение равенства, обозначаемое через E, если C = (c_ij ) = где символ Кронекера

- антидиагональное отношение, если .

Операции над отношениями

Так как отношение есть множество, то над ними можно выполнять теоретико-множественные операции объединения, пересечения, разности и др. Рассмотрим отношения R и F на одном множестве X, т.е. R  X² и F  X² .

Определение. Пересечением отношений R и F назовем отношение R  F, определяемое пересечением соответствующих множеств R и F. Соотношение x RF y выполняется тогда и только тогда, когда выполнены xRy & xFy.

Пример. Пусть X = R & R -  & F -  , тогда RF есть отношение .

Определение. Объединением отношений R и F назовем отношение RF, определяемое объединением соответствующих подмножеств, т.е. отношение . Соотношение x RF y выполняется тогда и только тогда, когда выполнены xRy  xF y.

Пример . Пусть X = R & R - > & F - = . Тогда RF - .

Определение. Отношение называется дополнением отношения R, если

Для отношений определяется понятие включения, напр. <  ; = ; = .

Свойства включения:

если R  F, то из xRy  xFy;

если из xRy  xFy, то R  F.

Если для  (x; y) R выполним перестановку компонент, получая (y; x), то определим новое отношение, обозначаемое через R^-1 .

Определение . Пусть R отношение на X. Обратным отношением к R называется отношение R^-1 , если из yR^-1x следует xRy.

Обратным отношением к - R^-1 будет - R, т.е. (R^-1 )^-1 = R ( xRy  y R^-1 x ).

Примеры. Если R - отношение быть мужем , то R^-1 есть отношение быть женой.

Если R - отношение < , то R^-1 есть отношение >.

Определение . Композицией (произведением) отношений R и F на множестве X называется отношение R F, для которого выполнение соотношения x R F y  ( z ) xRz & zFy.

Примеры. Если R - отношение < , а F отношение > на множестве Z, то R F есть полное отношение. Действительно, соотношение x R F y выполнено, если ( z ) x<z & z>y, но такое z существует всегда, например, z = x + y + 1.

Пусть R - отношение быть женой и F есть отношение быть отцом. Каким будет отношение R F ? Соотношение x R F y означает, что существует такое z, что «x - жена z» и «z - отец y». Иначе, «x есть жена отца y», т.е. «x - мать или мачеха y».

ОТНОШЕНИЕ КАК ГРАФ

Существует геометрический способ задания (изображения) бинарных отношений на конечных множествах. Изобразим элементы такого множества точками на плоскости. Если выполнено соотношение, x₁ R x₂ , то проведем стрелку от x₁ к x₂ . Если x R x , то у точки x нарисуем петлю, выходящую из x и входящую в ту же точку. Такая фигура наз-ся ориентированным графом, или просто графом, а сами точки - вершинами графа. Пустому отношению соответствует граф без стрелок и петель. E соответствует граф, в котором присутствуют только петли. Полное отношение изображается полным графом, где все вершины соединены со всеми. Граф есть геометрическое изображение отношения аналогично тому, как график есть геометрическое изображение функции. Существует другой смысл понятия “граф”, который рассматривается ниже по тексту.

Свойства отношений

Определение. Отношение R на X наз-ся рефлексивным, если xX xRx.

Содержательные примеры рефлексивных отношений: "быть похожим на"; "иметь общий признак с"; "быть не старше"; ""; "". Всегда E  R. Отношения "быть родственником"; "быть старше"; "<"; ">" заведомо не рефлексивны. c_ii = 1.

Определение 2.11. Отношение R на X наз-ся антирефлексивным, если (xX ) (x;x) R, т.е. R E = . ( x,y)(xRy  x  y).

Выше приведенные примеры нерефлексивных отношений явл-ся антирефлексивными

Матрица, представляющая антирефлексивное отношение, имеет на главной диагонали нули, т.е. с_ij = 0.

Определение 2.12. Отношение R на X называется симметричным, если ( x,y)(x R y  y R x), или ( x,y)((x;y)  R  (y;x) R). R  R^-1 .

Теорема. Отношение R симметрично  R = R^-1 .

Содержательные примеры таких отношений: "быть похожим на"; "быть одинаковым с"; "быть родственником"; "a b"; "a  b". В соответствующем графе вместе с каждой стрелкой, идущей из вершины x_i в вершину x_j , существует и противоположно направленная стрелка. Поэтому иногда стрелки не указывают. b_ij = b_ji .

Определение 2.13. Отношение R называется асимметричным, если (x,y)((x;y)R  (y;x) R). R R^-1 =  .

Из двух соотношений x R y и y R x по крайней мере одно не выполнено. Для матричных элементов это приводит к равенству b_ij b_ji = 0. В соответствующем графе не может быть стрелок, соединяющих две вершины в противоположных направлениях, т.е. направление стрелок всегда существенно.

Теорема 2.1. Если отношение R асимметрично, то оно антирефлексивно.

Определение 2.14. Отношение R называется антисимметричным, если ( x;y)((x R y & y R x)  (x = y)), R  R^-1  E.

Для матричных элементов это приводит к утверждению: b_ij b_ji = 0, если i  j.

Определение 2.15. Отношение R наз-ся транзитивным, если ( x, y, z)(x R z & z R y  x R y), R²  R.

Отношения <, , >, , на множестве чисел; отношения конгруэнтности и подобия на множестве фигур; отношения параллельности на множестве прямых или плоскостей обладают свойством транзитивности.

Определение 2.16. Отношение R наз-ся антитранзитивным, если ( x, y, z)(xRz & zRy  xRy). ( x,y,z)((x,z) R & (z,y) R  (x,y) R).

Отношение  на множестве прямых плоскости антитранзитивно, но в пространстве это неверно, так как  три попарно  прямые. Таким образом, отношение  прямых пространства не является ни транзитивным, ни антитранзитивным.

Определение 2.17. Отношение R называется отношением эквивалентности, обозначаемое символом ~ (эквивалентностью), если оно рефлексивно, симметрично и транзитивно.

Широкое применение отношений эквивалентности в современной математике связано с тем, что отношение эквивалентности осуществляет разбиение множества, в котором оно определено, на классы, обычно принимаемые за новые математические объекты, т.е. с помощью отношений эквивалентности порождаются новые математические объекты, понятия. Если R - эквивалентность на множестве X и a  X, то подмножество R(a) = { x | xX & (a;x) R } называется классом эквивалентности R .

Определение 2.18. Множество классов эквивалентности R на множестве X или, что то же самое, множество подмножеств, образующих соответствующее разбиение, называется фактормножеством множества X по эквивалентности R и обозначается через X/ R.

Пример 2.4. X - множество зерен, насыпанных в мешки. Для зерен x и y положим (x;y)  R, если они лежат в одном мешке. Тогда классом эквивалентности служит множество зерен, лежащих в одном мешке, а фактормножеством X/ R - множество мешков.

Пример 2.5. X - множество фруктов (яблок, груш, персиков). Рассмотрим на X отношение R: "x является фруктом одного вида с фруктом y", которое разбивает X на 3 класса, причем X = X_я U X_г U X_п & X_я  X_г = , X_я  X_п =  , X_г  X_п =  . Тогда фактормножеством X по отношению R является множество {X_я , X_г , X_п }, т.е. X/R = {X_я , X_г , X_п }

Пример . Z - множество целых чисел, Z₀ и Z₁ состоят из четных и нечетных чисел соответственно. Тогда {Z₀ , Z₁ } оказывается разбиением Z, и если R - соответствующая эквивалентность - бинарное отношение «иметь один остаток при делении на 2», то Z/R = { Z₀ , Z₁ }.

Пример 2.7. Отношением эквивалентности явл-ся отношение равенства на некотором числовом множестве и вообще диагональное отношение E на  непустом множестве X.

Отношение эквивалентности на множестве X связано с разбиением этого множества на попарно-непересекающиеся подмножества (классы). Обоснованием является следующая теорема 2.2 : Если отношение R на множестве X является эквивалентностью, то разбиение {X₁ ,X₂ ,...} множества X такое, что соотношение xRy выполняется в тех и только тех случаях, когда x и y принадлежат одному классу разбиения. Обратно: если задано разбиение {X₁ ,X₂ ,...} множества X и бинарное отношение R определено как "принадлежать одному классу разбиения", то R - эквивалентность.

Отношения порядка

Одним из основных способов познания - сравнение. Познание немыслимо без сравнения. В познавательном процессе сравнение может выступать и как элементарный познавательный акт, и как отправной пункт рассуждения, и как цель его. Сравнениями наполнена и наша повседневная практика: один источник света ярче, чем другой; одно тело более нагрето, чем другое; один маршрут от дома до работы требует меньше времени, но дороже; ... .

Отношения такие, как <, > между величинами или числами, -предшествует между точками прямой,   строго включается между множествами, обладают свойствами антирефлексивности, асимметричности и транзитивности.

Такие и подобные им отношения являются примерами отношений строгого порядка.

Определение 2.19.  антирефлексивное, асимметричное и транзитивное отношение R на множестве X (R  X² ) называется отношением строгого порядка. Для обозначения отношения используется символ < или символ > (имеются и другие), т.е. соотношения x < y и y > x равносильны и читаются соответственно: x предшествует (меньше, подчинен, ...) y и y следует за (больше, превосходит...) x .

Часто встречаются такие отношения, как  (неменьше),  (небольше) между числами или величинами; | (делит), (делится на) между числами;  (включается) между множествами, которые являются рефлексивными, антисимметричными и транзитивными. Такие и подобные им отношения являются примерами отношений порядка (в широком смысле, включающем равенство).

Определение 2.20.  рефлексивное, антисимметричное и транзитивное отношение R на множестве X (R  X² ) называется отношением (частичного) порядка. Для обозначения отношения используется символ  или символ  (имеются и другие), т.е. соотношения x  y и y  x равносильны и читаются соответственно: x не превосходит (небольше, ...) y и y не предшествует (неменьше, ...) x .

Отношение порядка, как, впрочем, и другие отношения, не может рассматриваться в отрыве от множества, между элементами которого оно установлено. Упорядоченную пару - множество и заданный в нем порядок, например (X, ), называют (частично) упорядоченным множеством.

Пусть x и y - элементы частично упорядоченного множества. Может оказаться, что ни одно из соотношений x  y и y  x не имеет места. Такие элементы x и y называются несравнимыми. Таким образом, отношение порядка определено лишь для некоторых пар элементов, поэтому и говорим о частичной упорядоченности. Если же в частично упорядоченном множестве М несравнимых элементов нет, то множество М называется упорядоченным (линейно упорядоченным, совершенно упорядоченным).

Определение 2.21. Множество X называется линейно упорядоченным некоторым отношением порядка R (R  X² ), если для ( x,yX) и x  y выполняется обязательно (x; y)R или (y; x) R, т.е. (X,R).

Упорядоченность есть частный случай частичной упорядоченности. Итак, одно множество может оказаться упорядоченным (говорят также полностью упорядоченным) некоторым отношением порядка, другое же неупорядоченным, или частично упорядоченным таким отношением.

Например, Z упорядочивается  , так как ( x,y)(xy  yx);

< , так как ( x,y)(x  y  (x<y  y<x)).

Другими простейшими примерами бесконечных упорядоченных множеств (числовых) являются : N, Q, R, (0; 1), [0; 1] и др.

Одно множество можно упорядочивать разными способами, получая различные упорядоченные множества. N можно упорядочить естественным способом, но можно упорядочить по возрастанию отдельно все нечетные числа и отдельно все четные числа и считать каждое нечетное число предшествующим каждому четному, т.е. получая 1, 3, 5, ..., 2, 4, 6, ... ( 5 предшествует 2 ).

Если для подмножеств данного множества X определить отношение включения : M  M₁ , если M  M₁  X, то множество подмножеств X = {1; 2}, т.е. 2^X = {  ; {1}; {2}; {1; 2}} не упорядочивается отношением  (включается) или отношением  (строго включается) в указанном выше смысле. Множество 2^X лишь частично упорядочивается, так как {1}  {2} & ({1}; {2}) R & ({2}; {1}) R.

Примером частично, но не линейно упорядоченного множества является множество X всех пар натуральных чисел со следующим порядком: [ (m, n) < (m, n) ]  [ (m < m) & ( n < n) ].

Множество N частично упорядочено, если m < n означает « n делится без остатка на m ».

Пусть М - множество всех непрерывных функций на отрезке [a, b]. Установив f  g в том и только том случае, когда f (t)  g(t) для  t, a  t  b , мы получим частичную упорядоченность.

Пусть X - упорядоченное множество. Элемент aX называется наименьшим (минимальным, первым), если xX a  x . Элемент bX называется наибольшим (максимальным, последним), если xX x  b. Во всяком линейно упорядоченном множестве имеется не более одного наименьшего и не более одного наибольшего элемента, причем, если таковой элемент  , то он единственный. Так, для

N  наименьший элемент, равный 1, и не  наибольшего элемента,

Z, Q, R, (0; 1) не  наименьшего и наибольшего элементов,

[0; 1] наименьший элемент равен 0 и наибольший элемент равен 1 . В множестве всех неположительных чисел максимальный элемент равен 0.

В частично, но не линейно упорядоченном множестве может быть много наименьших и наибольших элементов. Так, в приведенном выше частично упорядоченном множестве пар натуральных чисел все пары вида (1, n) и (m, 1) являются наименьшими элементами.

Понятие n - местного (n - арного) отношения является естественным обобщением понятия двуместного (или бинарного) отношения. n - местное отношение - отношение между n объектами.

Примеры: ( a,b,c R) a = b + c

( a,b,c,d R) a:b = c:d

Определение 2.22. n - местным отношением между элементами множеств (на множествах) X₁ ,... X_n наз подмножество их декартого произведения X₁ ... X_n .

Л А Б О Р А Т О Р Н А Я Р А Б О Т А N 2.1

по теме : автоматизированное исследование свойств отношений

Постановка задачи: отношение на множестве задается указанием упорядоченных пар или матричным способом. Определить, является ли оно: полным, диагональным, антидиагональным, пустым?

Л А Б О Р А Т О Р Н А Я Р А Б О Т А N 2.2

по теме : автоматизированное исследование свойств отношений (6 часа).

Постановка задачи: отношение на множестве задается указанием упорядоченных пар или матричным способом. Определить, каким из следующих свойств оно обладает (по вариантам): рефлексивности, антирефлексивности, симметричности, асимметричности, антисимметричности, транзитивности, антитранзитивности.

Вариант	Свойства отношения
1	Рефлексивность, симметричность, антитранзитивность
2	Антирефлексивность, асимметричность, транзитивность
3	Рефлексивность, антисимметричность, транзитивность
4	Антирефлексивность, симметричность, транзитивность
5	Рефлексивность, асимметричность, антитранзитивность
6	Антирефлексивность, антисимметричность, транзитивность
7	Рефлексивность, симметричность, антитранзитивность
8	Антирефлексивность, асимметричность, транзитивность
9	Рефлексивность, антисимметричность, транзитивность
10	Антирефлексивность, симметричность, транзитивность
11	Рефлексивность, асимметричность, транзитивность
12	Антирефлексивность, антисимметричность, транзитивность
13	Рефлексивность, симметричность, антитранзитивность

Л А Б О Р А Т О Р Н А Я Р А Б О Т А N 2.3.

по теме : автоматизированное определение отношений эквивалентности

и порядка (2 часа).

Постановка задачи: отношение на множестве задается указанием упорядоченных пар или матричным способом. Определить, каким из следующих свойств оно обладает (по вариантам) и для отношения эквивалентности указать классы эквивалентности , а для отношения порядка упорядочить множество.