- •Електродинаміка
- •Розділ V Електростатика
- •1. Електричні заряди. Взаємодія зарядів
- •2. Електричне поле. Напруженість електричного поля
- •3. Робота в електричному полі. Різниця потенціалів
- •4. Електричне поле у речовині
- •5. Ємність. Конденсатори
- •6. Енергія електричного поля
- •Методичні рекомендації щодо розв’язування задач
- •Приклади розв’язування задач
- •Задачі Взаємодія зарядів. Закон Кулона
- •Напруженість електричного поля. Поле зарядженої кулі, пластини. Потенціал. Різниця потенціалів
- •Робота по переміщенню заряду в електричному полі
- •Електроємність. Конденсатори. Енергія електричного поля
- •Якісні і графічні задачі
Приклади розв’язування задач
Задача 1. Визначити силу, яка діє на заряд q2 = –1·10-6 Кл (мал. 74), якщо заряди q1 = 1 · 10-7 Кл і q3 = 2 · 10-7 Кл знаходяться в повітрі на відстані AB = BC = 10 см.
Дано: q1 = 1 · 10-7 Кл; q2 = –1 · 10-6 Кл; q3 = 2 · 10-7 Кл; AB = BC = 10 см |
F - ? |
Н а заряд q2 діють заряди q1 і q3 з силами, вектори яких і (див. мал.74 ). Сили і – сили притягання заряду q2 до зарядів q1 і q3, вони направлені по одній прямій AC, але протилежно напрямлені. Їх рівнодійна направлена в сторону більшої сили і за модулем дорівнює різниці їх модулів. За законом Кулона знайдемо модулі сил і :
і .
Відстань AB = BC = 0,1 м. Підставляючи числові значення, одержуємо ≈ 0,1 Н, ≈ 0,2 Н, а модуль F = 0,1 Н.
Відповідь: 0,1 Н.
Задача 2. Заряди q1 = q2 = q3 = 1·10-6 Кл розміщенні у вершинах рівностороннього трикутника із сторонами a = 20 см. Визначити силу, яка діє на один із цих зарядів з боку двох інших у повітрі.
Дано: q1 = q2 = q3 = 1 · 10-6 Кл; a = 20 см=0,2 м |
F - ? |
З робимо креслення (мал.75). Визначимо силу, що діє на заряд q3, який знаходиться в точці С. Заряди q1 (в точці А) і q2 (в точці В) діють на заряд q3 з відповідними силами і . Рівнодійну цих сил ( ) знайдемо за правилом паралелограма.
Для розв’язання задачі будемо використовувати не вектори, а їх модулі, які дорівнюють довжинам відрізків, які на кресленні відповідають векторам , , . Легко довести, що = , , оскільки MCN = ACB = 600. Тоді , в ∆ СNZ сторона .
За законом Кулона модуль сили ;
= 0,02 Н;
F = 0,02 Н · · 2 ≈ 0,034 H.
Відповідь: 0,034 Н.
Задача 3. Два заряди по 1·10-8 Кл знаходяться у повітрі на відстані 8 м один від одного. Визначити напруженість у точці, що знаходиться на відстані 5 м від обох зарядів. Точка і заряди знаходяться у одній площині .
Дано: qA = qB = 1 · 10-8 Кл; AB = 8 м; АD = 5 м |
ED - ? |
Як видно з мал.76, таких точок дві D і E. Тому розв’язання зробимо для однієї з них, наприклад для D.
EA і EB – модулі напруженостей в точці D, створені зарядами qA і qB. За умовою qA = qB. Загальна напруженість електричного поля в точці D: , яку знаходимо як діагональ паралелограма зі сторонами векторів напруженості і .
Модулі напруженостей ,
а модуль напруженості ED знаходять із подібності ∆ AED і ∆ DMF:
, або .
З ∆ АСD ; CD = 3 м, тоді ЕD = 6 м.
Отже . Підставляючи числові значення, отримаємо ED = 4,3 Н/Кл.
Напрямок сумарної напруженості показано на мал.76
Відповідь: 4,3 Н/Кл.
Задача 4. На діелектричній нитці висить кулька масою m. Вся ця система знаходиться в однорідному електростатичному полі, напруженість якого направлена вертикально вгору. Визначити силу пружності нитки, коли кулька не заряджена і коли їй надають від’ємний заряд – q.
Дано: m; E; – q |
Fпр - ? |
Коли кулька не заряджена, то діє сила тяжіння і сила пружності . Якщо кульку зарядити, то виникає ще й електрична сила (мал. 77), у результаті чого сила пружності зміниться. Спроектуємо ці сили на вісь Oy.
У першому випадку запишемо суму проекцій сил на вісь Oy і прирівняємо її до нуля:
, тобто .
У другому випадку сума проекцій сил буде іншою:
, тобто .
Відповідь: ,
Задача 5. Суцільна металева сфера радіусом R = 20 см має рівномірно розподілений заряд поверхневої густини σ =10-9 Кл/м2. Визначити напруженість та потенціал електричного поля у точках на відстанях r1=16 см від центра сфери; на поверхні сфери та на відстані r2=36 см від центра сфери. Побудувати графіки залежності Е=Е(r) та φ=φ(r).
Дано: R = 0,2 м; σ = 10-9 Кл/м2; r1=0,16 м; r2=0,36 м |
Е1; Е2; Е3 -? φ1; φ2; φ3 -? |
Всередині сфери напруженість поля дорівнює нулю: Е1=0.
Потенціал всередині сфери дорівнює потенціалу на поверхні: φ1=φ2.
Заряджена сфера створює навколо себе поле, напруженість якого визначається за формулою точкового заряду.
Для відстані r =R : ; Е2=113 В/м.
; φ2=22,6 В.
Для відстані r = r2: ; Е3=34,5 В/м.
; φ3=12,42 В.
Графіки показано на малюнку 78.
Відповідь: 0 В; 113 В/м; 34,5 В/м; φ1=φ2=22,6 В; 12,42 В.
З адача 6. Електричне поле створене зарядом 5·10-7 Кл, який знаходиться у середовищі з діелектричною проникністю 2 (мал.79 ). Визначити різницю електричних потенціалів точок В і С, віддалених від заряду на 5 см і 0,2 м. Яка робота виконується при переміщенні електричного заряду 0,3·10-7 Кл між точками В і С?
Дано: q = 5·10-7 Кл; q0 = 0,3·10-7 Кл; ε = 2; ε0 = 8,85·10-12 Кл2/(Н·м2); r1 = rB = 5·10-2 м; r2 = rC = 0,2 м |
U - ?, A - ? |
Використовуючи формулу φ = q/(4πε0εr), визначимо різницю електричних потенціалів точок В і С електричного поля:
U = φB – φC = = .
Роботу по переміщенню заряду в електричному полі визначимо за формулою A = q0U.
Підставляючи числові значення матимемо:
,
А ≈ 0,3·10-7 Кл · 34·103 В ≈ 10-3 Дж = 1 мДж.
Відповідь: 34кВ; 1мДж.
Задача 7. Три конденсатори з ємностями C1 = 0,2 мкФ, С2 = С3 = 0,4 мкФ з’єднані між собою як показано на малюнку 80, і приєднані до джерела постійного струму UAB = 250 В. Визначити загальний електричний заряд, заряд і різницю потенціалів на кожному з конденсаторів та електричну енергію накопичену всією батареєю конденсаторів.
Дано: C1 = 0,2 мкФ; С2 = С3 = 0,4 мкФ; UAB = 250 В |
q - ?, q1 - ?, q2 - ?, q3 - ?, U1 - ?, U2 - ?, U3 - ?, W - ? |
Загальний заряд визначимо за формулою q = CUAB,
де C – ємність батареї конденсаторів, яку визначимо з формули змішаного з’єднання: .
Заряд першого конденсатора такий же, як і загальний заряд: q1 = q, а заряди на двох інших конденсаторах q2 = q3 = q/2.
Знаючи ємність і заряд кожного конденсатора, можемо визначити різницю потенціалів на їх обкладинках.
Для визначення енергії накопиченої батареєю конденсаторів використаємо формулу: .
Заряд, накопичений батареєю,
Підставимо числові значення: .
Заряди на окремих конденсаторах: q1 = 4·10-5 Кл, q2 = q3 = 2·10-5 Кл.
Визначимо різницю потенціалів на окремих конденсаторах і їхню загальну енергію:
; .
.
Відповідь: q1 = 4∙10-5 Кл, q2 = q3 = 2·10-5 Кл; U1=200 В, U2=U3=50 В, W=5∙10-3 Дж.
Задача 8. Батарея із двох конденсаторів, з’єднаних послідовно і ємності яких 2 і 3 мкФ, заряджена до напруги 400 В. Визначити електроємність батареї і напругу на затискачах кожного конденсатора.
Дано: С1 = 2 мкФ; С2 = 3 мкФ; U = 400 В |
СБ - ? U1 - ? U2 - ? |
Загальну електроємність батареї Сз знаходимо за формулою ,
звідки = 1,2 мкФ.
З агальний заряд батареї
q = СБU ; q=1,2·10-6 Ф · 400 В = 4,8·10-4 Кл.
При послідовному з’єднанні конденсаторів заряд на кожному з них дорівнює загальному заряду батареї: q = q1 = q2 (мал.81).
Напруга на конденсаторах:
= 240 В; = 160 В.
Відповідь: СБ=1,2 мкФ; U1=240 В; U2=160 В.