4.7 Колебания пластин и оболочек
Уравнения колебаний пластин и оболочек можно получить, если в соответствующих уравнениях равновесия наряду с внешними силами учесть и силы инерции.
Жесткость пластинки и оболочки в срединной плоскости существенно больше, чем в направлении нормали к срединной поверхности, поэтому тангенциальными составляющими сил инерции можно пренебречь, полагая
где Х и 
—
составляющие сил инерции в срединной
плоскости; Z —
нормальная составляющая сил инерции; 
—
плотность материала; h —
толщина пластины или оболочки; W —
прогиб.
При гармонических колебаниях прогиб может быть представлен в виде
Основное уравнение для исследования колебаний пластины имеет вид
|
(4.16) |
где q — внешняя нагрузка; если q является периодически изменяющейся нагрузкой, то уравнение (4.16) позволяет определить прогибы при вынужденных колебаниях; если q — статическая нагрузка, то уравнение (4.16) служит для определения собственных частот колебаний пластины с нагрузкой.
Поперечные колебания пологих оболочек описываются уравнениями
|
(4.17) |
Операторы 
и 
в
уравнениях (4.16) и (4.17) определяются
выражениями
где 
—
функция напряжений (функция Эри); 
и 
—
кривизны поверхности оболочки в
направлениях координатных
линий 
и 
соответственно.
Если q = 0, то уравнения (4.16) и (4.17) определяют собственные колебания пластин и оболочек. Определение этих частот связано с решением однородных уравнений (4.16) и (4.17), которые должны удовлетворять тем же граничным условиям, что и в задачах о равновесии пластины или оболочки под действием статических нагрузок. Ненулевое решение возможно только в том случае, когда соответствующий определитель однородной системы равен нулю. Отсюда следует частотное уравнение, позволяющее определить спектр собственных частот колебаний.
Сложность граничных условий приводит, как правило, к определителям высоких порядков, раскрытие которых представляет известные трудности. Исключение составляют задачи о шарнирно опертых пластинах и оболочках. Здесь, задавая в виде двойного тригонометрического ряда прогиб (для пластин) или прогиб и функцию напряжений (для оболочек), при удовлетворении всем граничным условиям можно получить выражения для спектра собственных частот непосредственно из уравнений (4.16) и (4.17).
При произвольных граничных условиях используются приближенные методы и в первую очередь — метод Бубнова-Галеркина и метод Рэлея-Ритца.
В методе Бубнова-Галеркина функцию напряжений и прогиб задают в форме рядов
Для пластин используется только выражение для прогиба W.
Функции
и W должны
удовлетворять граничным условиям
задачи. В качестве 
удобно
использовать фундаментальные балочные
функции, что позволяет удовлетворить
произвольным граничным условиям. Эти
функции подставляют в вариационные
уравнения:
для пластин
для оболочек
В результате получаются системы алгебраических уравнений, приравнивая нулю определители которых, получим выражения для определения собственных частот
для пластин
для оболочек
где
При
выборе функций
важное
значение имеет задание функций, которые
обладают свойствами ортогональности
как с самими функциями этого класса,
так и с их вторыми и четвертыми
производными. В этом случае бесконечная
система уравнений с бесконечным числом
производных распадается на систему,
состоящую из пар уравнений относительно 
и 
.
В методе Рэлея-Ритца частота собственных колебаний определяется из условия минимума суммы потенциальной и кинетической энергий.
Прогиб представляют в виде ряда
Потенциальная энергия определяется выражением
где 
—
энергия деформации срединной
поверхности; 
—
энергия изгиба:
где 
—
изменения кривизны вдоль 
соответственно; 
—
изменение кривизны кручения:
Кинетическая энергия имеет вид
Подставляя W в U и T и определяя производные
получим
однородную систему уравнений для 
,
а приравнивая нулю ее определитель —
частотное уравнение.
Описанные приближенные методы справедливы, когда прогибы существенно меньше толщины оболочки. При больших прогибах нужно учитывать натяжение срединной поверхности, которое увеличивает жесткость конструкции и, соответственно, частоту свободных колебаний.
Рассмотрим
пример. Определим
значения частот свободных колебаний
прямоугольной пластинки со сторонами 2
и 2
,
жестко защемленной по контуру.
Известно [4] решение этой задачи методом Рэлея-Ритца.
Зададим прогиб пластинки в виде, удовлетворяющем граничным условиям задачи:
Потенциальная и кинетическая энергии определяются выражениями
Низшая частота собственных колебаний определяется из условия
Рассмотрим
порядок решения задачи в ANSYS при следующих
исходных данных: 
материал
— сталь.
1. Задаем ключевые точки.
Main Menu>Preprocessor>Modeling > Create > Keypoints > In Active CS
В строке NPT Keypoint number указываем номер точки, в полях X, Y, Z Location in active CS — ее координаты. После ввода координат каждой точки нажимаем Apply:
точка 1: (0; 0; 0); точка 2: (1; 0; 0); точка 3: (1; 0; 0.5); точка 4: (0; 0; 0.5). ОК.
Просмотрим изображение в изометрической проекции.
2. Строим плоскость по точкам.
Main Menu > Preprocessor > Modeling > Create > Areas > Arbitrary > Through KPs
Поочередно выбираем точки 1, 2, 3 и 4. ОК.
3. Задание типа элемента.
Main Menu > Preprocessor > Element Type > Add/Edit/Delete > Add…
В окне Library of Element Type выбираем Shell 4 node 181. ОК. Close.
4. Задание реальных констант элемента.
Main Menu>Preprocessor>Real Constants>Add/Edit/Delete> Add… > OK
В открывшемся окне в поле Shell thickness at node I TK(I) вводим толщину пластины — 0.02. ОК > Close
5. Задание свойств материала.
Main Menu > Preprocessor > Material Props > Material Models
В правом поле открывшегося окна двойным нажатием левой кнопки мыши выбираем:
Structural > Linear > Elastic > Isotropic