4.3 Собственные колебания простейших балок и рам
Определим частоту свободных колебаний шарнирной балки с одной сосредоточенной массой (рис.4.1).
Рис.4.1
Аналитическое решение этой задачи сводится к вычислениям по формуле
|
(4.2) |
,
где 
—
статический прогиб балки в точке
расположения массы
,
определяемый способом Верещагина.
Если 
,
а балка изготовлена из стального двутавра
№30а (
), то
вычисления по формуле (4.2) дают 
В ANSYS эта задача решается так:
1.Задаем тип элемента и его опции.
Main Menu > Preprocessor > Element Type > Add/Edit/Delete > Add…
В окне Library of Element Types выбираем Beam 2D elastic 3. ОК. В окне Element Types нажимаем кнопку Оptions… и в выпадающем меню Оutput at extra intermed pts K9 выбираем 9 intermed pts. ОК. Для задания второго типа элемента в окне Element Types нажимаем кнопку Add…, в открывшемся окне выбираем Structural Mass 3D mass 21 (элемент, моделирующий сосредоточенную массу). ОК. В окне Element Types выбираем Types 2 MASS21 и нажимаем кнопку Options… В выпадающем меню Rotary inertia options K3 выбираем 2D w/o rot iner. ОК. Сlose.
2.Задаем реальные константы элементов.
Main Menu > Preprocessor > Real Constants > Add/Еdit/Delete > Add...
В окне Element Types for Real Co… выбираем Type 1 BEAM3. ОК. В появившемся окне необходимо ввести:
AREA: 49.9e-4 !площадь двутаврового сечения 30а
IZZ: 7780е-8 !момент инерции двутаврового сечения 30а
НEIGHT: 0.3 !высота сечения ОК.
Для задания реальных констант элемента Mass21 нажимаем в окне Real Constant кнопку Add... Выбираем Type 2 Mass21 ОК. B поле 2D mass MASS задаем массу элемента: 30000. ОК. Сlose (рис.4.2).
3.Задаем свойства материала для элемента BEAM3.
Main Menu > Preprocessor > Material Props > Material Models
В правом поле появившегося окна выбираем:
Structural > Linear > Elastic > Isotropic
В полях EX и PRXY вводим соответственно модуль упругости и коэффициент Пуассона:
EX: 2.1e11
PRXY: 0.3 ОК.
Рис.4.2
4.Задаем основные узлы.
Main menu > Рreprocessor > Modeling > Create > Nodes > In Active CS
В появившемся окне в поле NODE Node number вводим номер узла, а в полях X, Y, Z Location in active CS – его координаты:
Узел 1: (0; 0; 0); узел 11: (1.5; 0; 0) ; узел 21: (1.5+4.5; 0; 0).
5.Создаем промежуточные узлы.
Main menu > Рreprocessor > Modeling > Create > Nodes >Fill between Nds
Выбираем узлы 1 и 11. ОК. В окне Create Nodes Between 2 Nodes программа сообщает, что между узлами 1 и 11 можно построить 9 промежуточных узлов. Apply. Аналогичным образом строим 9 промежуточных узлов между узлами 11 и 21.
6.Активируем набор атрибутов для элемента BEAM3.
Main menu > Рreprocessor > Meshing > Mesh Attributes > Default attribs
В окне Meshing Attributes выбираем:
[TYPE] Element type number – 1 BEAM3
[MAT] Material number – 1.
[REAL] Real constant set number – 1.
7.Определяем элемент BEAM3 на каждом участке.
Переходим в командный режим.
*do, i, 1 ,20
e, i, i+1
*enddo
Пронумеруем узлы:
Utility Menu >PlotCtrls > Numbering…
В строке NODE Node numbers ставим переключатель из Оff в Оn. ОК.
Прорисуем элементы:
Utility Menu > Plot > Elements
8.Активируем набор атрибутов для элемента Mass 21.
Main Menu > Preprocessor > Meshing > Mesh Attributes >Default Attribs
В окне Mesh Attributes выбираем:
[TYPE] Element type number – 2 MASS 21
[REAL] Real constant set number – 2 ОК.
9.Определяем элементы Mass21.
Main Menu>Preprocessor>Modeling>Create>Elements>Auto Numbered> Thru Nodes
Выбираем узел 11. ОК.
10.Задаем условия закрепления.
Main Menu>Solution>Define Loads > Apply > Structural > Displacement > On Nodes
Выбираем узел 1. ОК. В окне Apply U, ROT on Nodes выбираем UX и UY. Apply. Выбираем узел 21. ОК. В появившемся окне выбираем UY. ОК.
11.Выделяем все конструкцию.
Utility Menu >Select > Everything
Переходим в командный режим ANSYS Command Promt.
/SOLU
ANTYPE, 2 !анализ на собственные частоты
MODOPT, SUBSP, 2 !спецификация метода решения
EQSLV, FRONT !тип решателя
MXPAND ,2,,,0 !записывать решение двух собственных частот
SOLVE !запуск на решение
12. Чтение результатов.
12.1. Листинг со значениями собственных частот доступен через следующий пункт меню:
Main Menu > General Postproc > Result Summary
В
результате расчета программа всегда
«выдает» значения технических частот
(в данном случае они составляют 2,3345 и
24,287); для перехода к более привычным для
нас круговым частотам 
,
эти значения нужно умножать на 
:
12.2. Графический вывод форм колебаний.
/POST1
SET, FIRST !первая форма колебаний
PLDISP, 1
SET, NEXT !вторая форма колебаний
PLDISP, 1
Формы колебаний показаны на рис.4.3.
|
|
1 форма колебаний |
2 форма колебаний |
Рис.4.3
Наличие двух собственных частот и форм колебаний в ANSYS никак не противоречит аналитическому расчету, где обычно не учитываются колебания, при которых в качестве обобщенной координаты рассматривается угол поворота сечения балки, где расположена сосредоточенная масса .
В качестве второго примера рассмотрим колебания массы , сосредоточенной посредине пролета ригеля рамы (рис.4.4).
Рис.4.4
Как и в предыдущей задаче, здесь при аналитическом расчете не учитываются колебания, определяемые поворотом сечения с массой , и система считается имеющей одну собственную форму колебаний, происходящих с частотой, вычисляемой по формуле (4.2).
При 
вычисления
по формуле (4.2) дают 
Порядок решения задачи в ANSYS:
1.Задаем геометрические параметры.
Utility Menu >Parameters > Scalar Parameters
В диалоговом окне Scalar Parameters в поле Selection вводим параметры, которые будут использоваться в расчете. После ввода каждого параметра нажимаем Accept.
H=0.22132 !Высота поперечного сечения стойки и ригеля
B1=0.05533 !Ширина поперечного сечения ригеля
B2=0.5*B1 !Ширина поперечного сечения стойки
A=3 !Длина стойки
B=1 !Половина длины ригеля
M=10000 Close.
2.Задаем точки.
Main Menu>Preprocessor>Modeling>Create > Кeypoints > In Active CS
В поле NPT Keypoint number вводим точки, в полях X,Y,Z Location in active CS – ее координаты.
Точка 1: (0, 0, 0); точка 2: (0, а, 0); точка 3: (b, a, 0); точка 4: (2*b, а, 0).
3.Соединяем точки линиями.
Maine Menu>Preprocessor>Modeling>Create>Lines>Lines > Straight Line
Попарно выбираем точки: 1 и 2, 2 и 3, 3 и 4. ОК.
4.Задаем тип элемента и его опции.
Main Menu > Preprocessor > Element Type > Add/Edit/Delete
Задаем элемент BEAM3, для этого в окне Element Type нажимаем Add… В открывшемся окне выбираем Beam 2D elastic 3. ОК. В окне Element Type нажимаем кнопку Options… В выпадающем меню Output at extra intermed pts K9 выбираем 9 intermed pts. ОК.
Задаем элемент MASS 21. В окне Element Type нажимаем Add… В появившемся меню выбираем Structural Mass 3D mass 21. ОК. В окне Element Type нажимаем Options… В выпадающем меню Rotary inertia options K3 выбираем 2D w/o rot iner. ОК. Close.
5.Задаем реальные константы.
Main Menu > Preprocessor >Real Constants > Add/Edit/Delete
Реальные константы для ригеля. В окне Real Constants нажимаем Add… Выбираем Type1 BEAM3. ОК. В диалоговом окне Real constants for BEAM3 вводим:
AREA: B1*H !площадь поперечного сечения
IZZ: (B1*H**3)/12 !момент инерции поперечного сечения
HEIGНT: H !высота поперечного сечения OК.
Реальные константы для стойки. В окне Real Constant нажимаем Add… Выбираем Type 1 BEAM3. ОК. В открывшемся окне вводим:
AREA: B2*H
IZZ: (B2*H**3)/12
HEIGHT: H OК.
Реальные константы присоединенной массы. В окне Real Constant нажимаем Add… В окне Element Type for … выбираем Type2 MASS21. ОК. В открывшемся диалоговом окне в поле 2-D mass MASS вводим: M. OК. Close.
6.Задаем свойства материала.
Main Menu > Preprocessor >Material Props > Material Models
В правом поле открывшегося окна выбираем
Structural > Linear > Elastic > Isotropic
В появившемся окне задаем модуль упругости EX и коэффициент Пуассона PRXY.
EX: 2e 11
PRXY: 0.3 ОК.
7.Присваиваем соответствующие атрибуты линиям.
Main Menu > Рreprocessor > Meshing > Mesh Attributes > Picked Lines
Выделяем две линии ригеля. ОК. В окне Line Attributes в поле TYPE Element type number – 1 BEAM3. Apply. Выделяем стойку. ОК. В выпадающемменю REAL real constant set number выбираем: 2. ОК.
8.Присваиваем атрибуты точке 3.
Main Menu > Рreprocessor > Meshing > Mesh Attributes > Picked KPs
Выделяем точку 3. ОК. В окне Кeypoint Attributes выбираем REAL Real constant set number — 3, TYPE Element type number – 2 MASS21. ОК.
9.Строим конечно-элементную сетку на линиях.
Main Menu > Preprocessor > Meshing > Mesh Tool
В окне Mesh Tool нажимаем Set рядом с Lines. В меню Elements Size on Picked…, нажимаем Pick All. В открывшемся диалоговом окне в полеNDIV No, of elements division вводим количество разбиений на линии: 10. ОК.
Main Menu > Preprocessor > Meshing > Mesh Tool
В окне Mesh Tool нажимаем Mesh, затем в меню выбираем Pick All.
Пронумеруем точки:
Utility Menu > PlotCtrls > Numbering…
В строке KP Keypoint number ставим переключатель из Оff в Оn. ОК.
Прорисуем линии:
Utility Menu > Plot > Lines
10.Определяем элемент присоединенной массы.
Main Menu > Preprocessor > Meshing > Mesh Tool
В окне Mesh Tool в выпадающем меню Mesh выбираем KeyPoints. Нажимаем Mesh. Выделяем точку 3. ОК.
11.Задаем условия закрепления.
Main Menu > Solution > Define Loads > Apply > Structural > Displacement > On Nodes
Курсором мыши выделяем узел стойки, где должна быть жесткая заделка. ОК. В диалоговом окне Apply U, ROT on Nodes выбираем All DOF.Apply. Выделяем узел ригеля, где должна быть шарнирно-неподвижная опора. ОК. В появившемся окне выбираем UX и UY. OК.
Выделяем всю конструкцию:
Utility Menu > Select > Everything
Переходим в командный режим ANSYS Command Prompt
/SOLU
ANTYPE, 2
MODOPT, SUBSP, 2
EQSLV, FRONT
MXPAND,2,,,0
SOLVE
12.Чтение результатов.
/POST1
SET, FIRST !Первая форма колебаний (рис.4.5,а)
PLDISP, 1
SET, NEXT !Вторая форма колебаний (рис.4.5,б)
PLDISP, 1
|
|
а |
б |
Рис.4.5
Листинг со значениями собственных частот доступен через следующий пункт меню:
Main Menu > General Postproc > Results Summary
Значения собственных частот составили:
Рассмотрим колебания П-образной рамы с массой, сосредоточенной посередине ригеля (рис.4.6).
Рис.4.6
Такая система имеет две степени свободы, и, согласно решению, полученному в [22], собственные частоты определяются в виде
где 
—
осевой момент инерции сечения стойки.
Принимая 
,
получим 
.
Решим задачу в ANSYS.
1.Задаем геометрические параметры рамы.
Utility Menu > Parametrs > Scalar Parametrs...
В поле Selection вводим параметры, которые будут использоваться в расчете. После ввода каждого параметра нажимаем Accept.
a = 4 !Длина стойки
b = 4/3 !Половина длины ригеля
H1 = 0.2 !Высота поперечного сечения стойки
B1 = 0.05 ! Ширина поперечного сечения стойки
B2 = 2*B1 ! Ширина поперечного сечения ригеля
M = 10000 ! Сосредоточенная масса
2.Задаем ключевые точки.
Main Menu>Preprocessor > Modeling > Create > Keypoints > In Active CS
В появившемся окне в поле NPT Keypoint number вводим номер точки, в полях x, y, z Location in Active CS – ее координаты.
-
N
1
2
3
4
5
X
0
0
b
2*b
2*b
Y
0
a
a
a
0
Z
0
0
0
0
0
3.Соединяем точки линиями.
Main Menu>Preprocessor>Modeling>Create>Lines>Lines>Straight Line
Попарно выделяем точки: 1 и 2, 2 и 3, 3 и 4, 4 и 5. ОК.
4.Задаем два типа элемента и их опции.
Main Menu > Preprocessor > Element Type > Add/Edit/Delete
Задаем балочный элемент BEAM3. В окне Element Types нажимаем Add... В появившемся окне выбираем Beam 2D elastic 3. OK. Для заданияопций элемента в окне Elements Types нажимаем Options… В выпадающем меню Output at extra intermed pts K9 выбираем 9 intermed pts. OK.
Задаём массовый элемент MASS 21. В окне Element Type нажимаем Add… В появившемся меню выбираем Structural Mass 3D mass 21. ОК. В окнеElement Type нажимаем Options… В выпадающем меню Rotary inertia options K3 выбираем 2D w/o rot iner. ОК. Close.
5.Задаем реальные константы.
Main Menu > Real Constants > Add/Edit/Delete
Задаем реальные константы для стоек. Для этого в окне Real Constants нажимаем Add... В появившемся окне выбираем Type 1 BEAM3. OK. В диалоговом окне Real Constants for BEAM3 вводим:
AREA: B1*H1 ! Площадь поперечного сечения
IZZ: (B1*H1**3)/12 ! Момент инерции
HEIGHT: H1 ! Высота поперечного сечения OК.
Задаем реальные константы для ригеля. В окне Real Constants нажимаем Add... Выбираем Type 1 BEAM3. OK. В диалоговом окне Real Constants for BEAM3 вводим:
AREA: B2*H1
IZZ: (B2*H1**3)/12
HEIGHT: H1 OК.
Задаем реальные константы для присоединенной массы. В окне Real Constants нажимаем Add... Выбираем Type 2 MASS21. OK. В появившемся диалоговом окне в поле 2-D mass MASS вводим: M. OК. Close.
6.Задаем свойства материала.
Main Menu > Preprocessor >Material Props > Material Models
В правом поле появившегося окна двойным нажатием левой кнопки мыши выбираем:
Structural > Linear > Elastic > Isotropic
Вводим модуль упругости EХ и коэффициент Пуассона PRXY:
EХ: 2e11
PRXY: 0.3 OK.
7.Присваиваем атрибуты линиям.
Main Menu > Preprocessor > Meshing > Mesh Attributes > Picked Lines
Выделяем две стойки. OK. В окне Line Attributes в выпадающем меню REAL Real constant set number выбираем 1, в меню TYPE Element type number — 1 BEAM3. Apply. Выделяем две линии ригеля. ОК. В окне Line Attributes в меню REAL Real constant set number выбираем 2, в окне TYPE Element type number — 1 BEAM3. OK.
8. Присваиваем атрибуты точке, в которой находится присоединенная масса.
Main Menu > Preprocessor > Meshing > Mesh Attributes > Picked KPs
Выделяем точку 3. ОК. В окне Keypoint Attributes в меню REAL Real constant set number выбираем 3, в меню TYPE Element type number — 2 MASS21. OK.
9. Строим конечно-элементную сетку.
Main Menu > Preprocessor > Meshing > Mesh Tool
В окне Mesh Tool нажимаем Set рядом с Lines, затем — Pick All. В диалоговом окне Element Sizes on Picked Lines в поле NDIV No, of element divisions вводим количество разбиений на линии: 10. ОК.
Main Menu > Preprocessor > Meshing > Mesh Tool
Нажимаем кнопку Mesh, затем — Pick Аll.
Прономеруем точки:
Utility Menu > PlotСtrls > Numbering…
В строке KP Keypoint numbers ставим переключатель из Off в On. OK.
Прорисуем линии:
Utility Menu > Plot > Lines
Определяем элемент присоединенной массы:
Main Menu > Preprocessor > Meshing > Mesh Tool
В выпадающем меню Mesh окна Mesh Tool выбираем Key Points и нажимаем Mesh, курсором мыши выделяем точку 3. ОК.
Прорисуем элементы:
Utility Menu > Plot > Elements
10. Задаем условия закрепления.
Main Menu>Solution>Define Loads > Apply > Structural > Displaument > On Nodes
Курсором мыши выделяем узлы стоек, где должны быть жесткие заделки. ОК. В окне Apply U, ROT on Nodes выбираем All DOF. OK.
Выделяем всю конструкцию:
Utility Menu > Select > Everything
11.Выбор типа анализа и запуск на решение. Переходим в командный режим.
/SOLU
ANTYPE, 2
MODOPT, SUBSP, 2
EQSLV, FRONT
MXPAND, 2,,,0
SOLVE
12.Чтение результатов.
/POST1
SET,FIRST !Первая форма колебаний (рис.4.7,а)
PLDISP, 1
SET, NEXT !Вторая форма колебаний (рис.4.7,б)
PLDISP, 1
|
|
а |
б |
Рис.4.7
Листинг со значениями собственных частот можно получить следующим образом:
Main Menu > General Postproc > Results Summary
Значения собственных частот составили:
