Которые обычно представляются в форме

(4.5)

где  i — номер тона колебаний, a_i —  коэффициент собственной частоты.

Их число теоретически бесконечно. Корни уравнения (4.4) удобно определять в среде  MATLAB, которая позволяет получать численные результаты и необходимые графики. Соответствующие программы можно найти на наших сайтах www.odsopromat.narod.ru,  www.listlib.narod.ru.

Программа ANSYS определяет так называемые технические частоты по формуле

(4.6)

Поэтому в табл.4.1 по МГЭ представлены 20 собственных частот в виде коэффициента a_i (l=EI=m=1) и в абсолютных значениях (4.5) при           E = 2·10¹¹Па; I = bh³12; b = 0,1м; h = 0,2м;  = 7800кгм³,  = 0,3.

Для построения форм собственных колебаний можно воспользоваться соотношениями метода начальных параметров всей балки (одна глобальная система координат):

(4.7)

где EIv(0)=0; EI(0)=X(2,1); M(0)=0; Q(0)=X(4,1);

R₁= Q⁰1(l)+Q¹2(0)= X(1,1)+X(8,1);                                                                          

R₂= Q¹2(l)+Q²3(0)= X(3,1)+X(12,1);

R₃= Q²3(l)+Q³4(0)= X(5,1)+X(16,1);  x є [0; l₁+l₂+ l₃+l₄],

или отдельных граничных элементов (локальная система координат)

EIvk(x)=EIvk(0)·C11(x)+EIk(0)·C12(x)-Mk(0)·C13(x)-Qk(0)·C14(x),

(4.8)

где k – номер граничного элемента; x є [0; l_k].

Для возбуждения собственных колебаний к балке прикладывается внешнее воздействие, например в виде единичного момента в узле 4. Тогда в нулевом векторе правых частей В слагаемое В(15,1) = 1 и нужно определить граничные параметры балки при собственной частоте _i  из уравнения

A*(i)·X*=B.

(4.9)

Вектор начальных и конечных параметров X_* должен нормироваться относительно какого-либо граничного параметра. Здесь это может бытьEI^34(l)=X(9,1). По относительным начальным параметрам формы собственных колебаний строятся в среде MATLAB в соответствии с (4.7), (4.8). Классический метод начальных параметров в форме (4.7) быстро исчерпывает свои возможности, и с 9-й формы возникают нарушения в виде осцилляции. Здесь сказываются большие аргументы фундаментальных функций. Этот недостаток не наблюдается в соотношениях (4.8) при 20 и более собственных частот. Однако осцилляция графиков может возникать и в граничных элементах при больших частотах. Тогда необходимо вводить дополнительные промежуточные узлы для уменьшения аргументов фундаментальных функций. Собственные формы колебаний балки (1; 5; 11; 17 и 24) по МГЭ представлены на рис.4.9.

1
5
11
17
24

Рис.4.9

Решение в ANSYS

Здесь реализуется классическая схема МКЭ, когда каждый пролет разбивается на равное число конечных элементов. Матрица жесткости формируется на основе фундаментальных функций А.Н. Крылова. Частоты собственных колебаний определяются из векового уравнения

|K1·ME|=0,

(4.10)

где К^-1 – обратная матрица жесткости (матрица податливости) системы в глобальной системе координат,

     М – матрица эквивалентных масс в глобальной системе координат;

     = 1²;  Е – единичная матрица.