Вектор перемещений (собственные формы колебаний) определяется из уравнения
V=E+B1, |
(4.11) |
где B1=A SpA·E; A=K1·M.
Частоты по МКЭ при различных сетках дискретизации представлены в табл.4..1, а формы колебаний — на рис.4.9. Формы колебаний по МКЭ и МГЭ идентичны.
В качестве эталонных результатов спектра частот нужно принять результаты по МКЭ при сетке 4·25=100 КЭ. Из табл.4.1 следует, что значения частот после сетки 4·10=40 КЭ практически не уточняются. Таким образом, для точного определения частот собственных колебаний призматического стержня по МКЭ достаточно разбиения его на 10 КЭ, что приводит к решению системы линейных уравнений в 5 раз большей, чем в МГЭ. Для данной балки это 80 и 16 уравнений соответственно. В методах сил и перемещений потребуется составить системы из 3 уравнений. Однако при этом существенно усложнится логика формирования коэффициентов податливости и жесткости, а определитель матриц коэффициентов (частотные уравнения) будут содержать точки разрывов 2-го рода, что также существенно усложняет поиск спектра частот.
Мало заметная разница между частотами по МГЭ и МКЭ наблюдается только с 15-й частоты, что объясняется погрешностью в определении корней уравнения (4.4) при больших аргументах фундаментальных функций. Здесь наглядно проявляются замечательные свойства системы ортонормированных фундаментальных функций. Даже у 20-й частоты по МГЭ погрешность меньше 2,0%, т.е. алгоритм МГЭ весьма устойчив при погрешности исходных данных (неточности значений фундаментальных функций при больших аргументах). Этому факту есть мотивированное обоснование. При формировании матрицы А* выполняется стыковка задач Коши отдельных граничных элементов (стержней) при условии непрерывности статических и кинематических параметров и точного выполнения краевых условий расчетной схемы.
Таблица 4.1
Собственные частоты по мкэ и мгэ с оценкой погрешности вычислений
Номер тона колеб. по МКЭ |
МКЭ, 100 КЭ |
МКЭ, 40 КЭ |
МКЭ, 8 КЭ |
МГЭ, 4 ГЭ |
|
||||
Частоты |
Погреш-ность, , |
Частоты |
Погреш-ность, , |
Коэфф. а в (4.4) |
Частоты по (4.5) |
Погреш-ность, |
|||
1 |
11,020 |
11,020 |
0,000 |
11,075 |
0,500 |
0,2370 |
11,02746 |
0,068 |
|
2 |
18,887 |
18,887 |
0,000 |
19,043 |
0,826 |
0,4061 |
18,89558 |
0,045 |
|
3 |
27,117 |
27,118 |
0,004 |
27,383 |
0,981 |
0,5833 |
27,14059 |
0,087 |
|
4 |
39,584 |
39,585 |
0,003 |
40,446 |
2,178 |
0,8517 |
39,62907 |
0,114 |
|
5 |
42,711 |
42,716 |
0,012 |
47,679 |
11,632 |
0,9191 |
42,76515 |
0,127 |
|
6 |
57,543 |
57,547 |
0,007 |
57,672 |
0,224 |
- |
- |
- |
|
7 |
63,703 |
63,713 |
0,016 |
74,144 |
16,390 |
1,3719 |
63,83365 |
0,205 |
|
8 |
88,422 |
88,451 |
0,033 |
104,20 |
17,844 |
1,9061 |
88,68965 |
0,303 |
|
9 |
94,563 |
94,602 |
0,041 |
127,11 |
34,418 |
2,0385 |
94,85014 |
0,304 |
|
10 |
127,20 |
127,24 |
0,031 |
151,74 |
19,292 |
2,7455 |
127,74641 |
0,430 |
|
11 |
136,00 |
136,08 |
0,059 |
|
|
2,9350 |
136,5637 |
0,414 |
|
12 |
160,91 |
161,17 |
0,162 |
|
|
3,4765 |
161,75938 |
0,528 |
|
13 |
172,65 |
172,74 |
0,052 |
|
|
- |
- |
- |
|
14 |
191,11 |
191,26 |
0,078 |
|
|
4,1329 |
192,30126 |
0,623 |
|
15 |
225,21 |
225,71 |
0,222 |
|
|
4,8767 |
226,90981 |
0,755 |
|
16 |
250,74 |
251,64 |
0,359 |
|
|
5,4329 |
252,78945 |
0,817 |
|
17 |
274,26 |
274,50 |
0,088 |
|
|
5,9495 |
276,8265 |
0,936 |
|
18 |
287,84 |
288,22 |
0,132 |
|
|
- |
- |
- |
|
19 |
321,08 |
322,09 |
0,315 |
|
|
6,9757 |
324,57497 |
1,089 |
|
20 |
342,21 |
344,02 |
0,529 |
|
|
7,4379 |
346,08086 |
1,131 |
|
21 |
367,17 |
|
|
|
|
7,9833 |
371,45798 |
1,168 |
|
22 |
403,15 |
|
|
|
|
- |
- |
- |
|
23 |
452,09 |
|
|
|
|
9,8697 |
459,23100 |
1,580 |
|
24 |
466,23 |
|
|
|
|
10,1789 |
473,61788 |
1,585 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Этот процесс осуществляется путем квазидиагонализации матрицы А*, обнуления ее отдельных столбцов и введения компенсирующих элементов, описывающих топологию системы. Результат такого преобразования наглядно иллюстрируется данными табл.4.1.
Отметим также, что матрица А* представляет собой задачу Коши всей балки. Согласно теореме математики решение задачи Коши существует и оно единственно. Поэтому спектр МГЭ не содержит фиктивных частот, и не пропускаются действительные частоты. В спектре МКЭ фиктивные частоты появляются (табл.4.1), а формы колебаний этих частот представляются практически прямыми линиями, совпадающими с упругой линией балки. Таким образом, можно заключить, что МГЭ имеет более высокие показатели эффективности алгоритма по сравнению с МКЭ, а другие методы значительно уступают рассмотренным методам.
Приведем последовательность действий при решении этой задачи в ANSYS.
1.Задаем геометрические параметры балки.
Utility Menu > Parameters > Scalar Parameters…
В поле Selection вводим параметры, которые будут использоваться в расчете. После ввода каждого параметра нажимаем Accept.
L1 = 4
L2 = 5
L3 = 6
L4 = 7
H = 0.2
B = 0.1
2.Задаем тип элемента.
Main Menu > Preprocessor > Element Type > Add/Edit/Delete > Add…
В окне Library of Element Types выбираем Beam 2D elastic 3. ОК. Сlose.
3.Задаем реальные константы элемента.
Main Menu>Preprocessor>Real Constants>Add/Еdit/Delete > Add…> ОК
В окне Real Constants for BEAM3 вводим:
AREA: H*B !площадь поперечного сечения
IZZ: B*H**3/12 !момент инерции
НEIGHT: H !высота сечения ОК> Сlose.
4.Задаем свойства материала для элемента BEAM3.
Main Menu > Preprocessor > Material Props > Material Models
В правом поле появившегося окна выбираем:
Structural > Linear > Elastic > Isotropic
В полях EX и PRXY вводим соответственно модуль упругости и коэффициент Пуассона:
EX: 2.1e11
PRXY: 0.3 ОК.
Выбираем Density. В окне Density for Material Number 1 в поле DENS вводим плотность стали — 7800. ОК.
5.Задаем ключевые точки.
Main Menu>Preprocessor > Modeling > Create > Keypoints > In Active CS
В поле NPT Keypoint number вводим номер точки, в полях X, Y, Z Location in active CS — ее координаты:
N 1 2 3 4 5
x 0 L1 L1+L2 L1+L2+L3 L1+L2+L3+L4
y 0 0 0 0 0
z 0 0 0 0 0
6.Соединяем точки линиями.
Main Menu>Preprocessor>Modeling>Create>Lines>Lines > Straight Line
Попарно выделяем точки 1 и 2, 2 и 3, 3 и 4, 4 и 5. ОК.
7.Задаем количество элементов на линии.
Main Menu > Preprocessor > Meshing > Mesh Tool
Нажимаем Set рядом с Lines. В окне Element Size on Picked… нажимаем Pick All. В поле NDIV No, of element divisions вводим количество элементов на линии — 10. ОК.
8.Строим сетку.
Main Menu > Preprocessor > Meshing > Mesh Tool
В окне Mesh Tool нажимаем Mesh. В окне Mesh Lines — Pick All.
Пронумеруем точки:
Utility Menu > PlotCtrls > Numbering…
В строке KP Keypoint number ставим переключатель из Off в On. ОК.
Прорисуем линии:
Utility Menu > Plot > Lines
9.Задаем условия закрепления.
Main Menu>Solution>Define Loads > Apply > Structural > Displacement > On Keypoints
Выделяем точку 1. ОК. В окне Аpply U, ROT on KPs выбираем UX и UY. Apply. Выделяем точки 2, 3, 4 и 5. ОК. В появившемся окне выбираемUY. ОК.
Переходим в командный режим ANSYS Command Promt.
ALLSEL, ALL !выделяем всю конструкцию
/SOLU
ANTYPE, 2 !анализ на собственные частоты
MODOPT, SUBSP, 2 !спецификация метода решения
EQSLV, FRONT !тип решателя
MXPAND, 2,,,0 !записывать решение двух собственных частот
SOLVE !запуск на решение
10. Чтение результатов.
10.1. Листинг со значениями собственных частот доступен через следующий пункт меню:
Main Menu > General Postproc > Result Summary
10.2. Графический вывод форм колебаний.
/POST 1
SET, FIRST !первая форма колебаний
PLDISP, 1
SET, NEXT !вторая и следующие формы колебаний
PLDISP, 1
Рассмотрим еще один пример — двухпролетную неразрезную балку с бесконечным числом степеней свободы (рис.4.10), для которой определим собственные частоты и формы колебаний методами граничных и конечных элементов с последующей оценкой погрешности вычислений.
Рис.4.10
Кроме того, значения двух низших частот, полученных МГЭ и МКЭ, сравним с аналитическим решением, полученным в [16], где первая частота определена методом перемещений (кососимметричная форма колебаний), а вторая — методом сил (симметричные колебания).
Значения первых пяти собственных частот, вычисленные по МГЭ, а также по методу конечных элементов в программе ANSYS при последовательной аппроксимации каждого пролета двумя, пятью и десятью конечными элементами, представлены в табл.4.2.
Таблица 4. 2
Значения собственных частот по методам граничных и конечных элементов
№ частоты |
МГЭ |
МКЭ — 2 КЭ |
МКЭ — 5 КЭ |
МКЭ — 10 КЭ |
1 |
710,01 |
721,25 |
718,48 |
718,42 |
2 |
1110,01 |
1131,85 |
1121,80 |
1121,55 |
3 |
1980,64 |
2001,32 |
1990,58 |
1989,01 |
4 |
2850,01 |
3150,52 |
2843,77 |
2839,37 |
5 |
3603,34 |
4188,18 |
3597,69 |
3588,89 |
Вычисленные в [16] методами перемещений и сил, первая и вторая частоты колебаний
Таким образом, результаты расчета по МГЭ хорошо согласуются с результатами, полученными методом конечных элементов, уже при использовании разбиения на 5 конечных элементов. Очевидно также, что применение МГЭ дает значения низших частот колебаний, которые ближе каналитическим, чем при расчете по МКЭ, даже при использовании разбиения на 10 конечных элементов.
Формы собственных колебаний (рис.4.11), соответствующие вычисленным частотам, практически одинаковы при решении задачи обоими методами.
1 форма |
|
2 форма |
|
3 форма |
|
4 форма |
|
5 форма |
|
Рис.4.11
Реализация алгоритма в ANSYS:
1.Задаем тип элемента и его опции.
Main Menu > Preprocessor > Element Type > Add/Edit/Delete > Add…
В окне Library of Element Types выбираем Beam 2D elastic 3. ОК. В окне Element Types нажимаем кнопку Оptions… и в выпадающем меню Оutput at intermed pts K9 выбираем 9 intermed pts. ОК. Сlose.
2.Задаем реальные константы элементов.
Main Menu > Preprocessor > Real Constants > Add/Еdit/Delete > Add...
В окне Element Types for real co… выбираем Type 1 BEAM3. ОК. В появившемся окне необходимо ввести:
AREA: 0.1*0.2 !площадь поперечного сечения
IZZ: 0.1*0.2**3/12 !момент инерции
НEIGHT: 0.2 !высота сечения ОК > Сlose
3.Задаем свойства материала для элемента BEAM 3.
Main Menu > Preprocessor > Material Props > Material Models
В правом поле появившегося окна выбираем:
Structural > Linear > Elastic > Isotropic
В полях EX и PRXY вводим соответственно модуль упругости и коэффициент Пуассона:
EX: 2.1e11
PRXY: 0.3 ОК.
Выбираем Density. В окне Density for Material Number 1 в поле DENS вводим плотность стали: 7800. ОК.
4.Задаем узлы и генерируем конечные элементы.
Переходим в командный режим ANSYS Command Promt:
n, 1 !задаем основные узлы
n, 21, 4
fill, 1, 21, 19 !задаем промежуточные узлы
*do, i, 1, 20 ! определяем элемент BEAM 3
e, i, i+1
*enddo
5.Задаем условия закрепления.
Main Menu>Solution>Define Loads > Apply > Structural > Displacement > On Nodes
Выделяем узел 1. ОК. В окне Аpply U, ROT on Nodes выбираем UX и UY. Apply. Выделяем узлы 11 и 21. ОК. В появившемся окне выбираем UY.ОК.
Выделяем все конструкцию.
Utility Menu >Select > Everything
Переходим в командный режим ANSYS Command Promt.
/SOLU
ANTYPE, 2 !анализ на собственные частоты
MODOPT, SUBSP, 5 !спецификация метода решения
EQSLV, FRONT !тип решения
MXPAND, 5,,,0 !записывать решение пяти собственных частот
SOLVE !запуск на решение
6. Чтение результатов.
6.1. Листинг со значениями собственных частот доступен через следующий пункт меню:
Main Menu > General Postproc > Result Summary
6.2. Графический вывод форм колебаний.
/POST 1
SET, FIRST !первая форма колебаний
PLDISP, 1
SET, NEXT !вторая форма колебаний
PLDISP, 1
Формы колебаний показаны на рис.4.11.