4.4 Модальный анализ неразрезных балок

Для решения задач определения спектра частот и построения форм собственных колебаний стержневых систем разработано множество методов, среди которых можно выделить метод граничных элементов (МГЭ) [3], метод конечных элементов (МКЭ), методы сил и перемещений [15]. Вызывает интерес сопоставление результатов решения задач динамики стержневых систем по МГЭ и МКЭ. В этой связи рассмотрим стержневую систему в виде неразрезной балки с линейно неподвижными узлами (рис.4.8).

Рис.4.8

Определим для неё спектр частот и формы собственных колебаний по МГЭ и в программе ANSYS.   

   Решение по МГЭ [1]   

Расчетная схема балки разбивается на 4 граничных элемента, нумеруются узлы, стрелками указывается начало и конец каждого ГЭ (рис.4.1). Формируются векторы начальных и конечных параметров X_*, Y, матрица граничных значений фундаментальных функций поперечных колебаний А_*(функции  акад. А.Н. Крылова).

 

X*=	1	EIV01(0)=0; Q01(l)	Y=	1	EIV01(l)=0	(4.3)
	2	EI 01(0)		2	EI 01(l)= EI12(0)
	3	M01(0)=0; Q12(l)		3	M01(l)= M12(0)
	4	Q01(0)		4	Q01(l)
	5	EIV12(0)=0; Q23(l)		5	EIV12(l)=0
	6	EI 12(0)		6	EI 12(l)= EI23(0)
	7	M12(0)		7	M12(l)= M23(0)
	8	Q12(0)		8	Q12(l)
	9	EIV23(0)=0; EI34(l)		9	EIV23(l)=0
	10	EI 23(0)		10	EI 23(l)= EI34(l)
	11	M23(0)		11	M23(l)= M34(l)
	12	Q23(0)		12	Q23(l)
	13	EIV34(0)=0; Q34(l)		13	EIV34(l)=0
	14	EI 34(0)		14	EI 34(l)
	15	M34(0)		15	M34(l)=0
	16	Q34(0)		16	Q34(l)

 

В матрицах X_*, Y учитываются условия опирания балки и непрерывность изгибающих моментов и углов поворота сечения в узлах (уравнения равновесия и совместности перемещений узлов). После переноса зависимых и независимых параметров из матрицы Y в матрицу X_*,  получим динамическую матрицу балки следующего вида.

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

А*=

1

С12

C14

2

C11

C13

 1

3

4C14

C12

 1

4

1

4C13

C11

5

C12

C13

C14

6

C11

C12

C13

 1

7

4C14

C11

C12

 1

8

1

4C13

4C14

C11

9

C12

C13

C14

10

C11

C12

C13

 1

11

4C14

C11

C12

 1

12

1

4C13

4C14

C11

13

C12

C13

C14

14

1

C11

C12

C13

15

4C14

C11

C12

16

1

4C13

4C14

C11

 

 

Для поиска частот собственных колебаний нужно найти корни нелинейного уравнения

(4.4)