![](/user_photo/2706_HbeT2.jpg)
- •Содержание
- •Латинский и греческий алфавиты Латинский алфавит
- •Греческий алфавит
- •Введение
- •Тема 1. Элементы теории множеств: Множества. Операции над множествами Сведения из теории
- •Лабораторная работа №1: Способы задания множеств Вопросы к работе
- •Образцы решения заданий
- •Упражнения
- •Индивидуальное задание
- •Задания для самоконтроля
- •Лабораторная работа №2: Подмножества. Равенство множеств Вопросы к работе
- •Образцы решения заданий
- •Упражнения
- •Индивидуальные задания
- •Задания для самоконтроля
- •Лабораторная работа №3: Действия над множествами Вопросы к работе
- •Образцы решения заданий
- •Упражнения
- •Индивидуальное задание
- •Задания для самоконтроля
Тема 1. Элементы теории множеств: Множества. Операции над множествами Сведения из теории
Понятия множества не определяется, а лишь поясняется на примерах. Можно говорить о множестве стульев в аудитории, о множестве деревьев в парке, о множестве машин на улицах города, о множестве людей на планете, о множестве людей в Европе, о множестве климатических зон, о множестве точек на прямой, о множестве натуральных чисел и т.п.
Объекты, из которых состоит множество, называются его элементами.
Если
в множестве
имеется элемент
,
то пишут
и говорят, что элемент
входит в множество
(принадлежит множеству
,
содержится в множестве
).
Если
элемент
в множество
не входит, то пишут
.
Множества бывают конечные, бесконечные и пустые.
Множество называется конечным, если в нем содержится конечное число элементов.
Например, множество рек в Мордовии конечно, множество пустынь на Земле конечно, множество деревьев в тайге конечно.
Множество называется пустым, если оно не содержит ни одного элемента.
Например, множество гор в Мордовии, высота которых более 5000 м., пустое.
Множество, которое не является ни конечным, ни пустым, называется бесконечным.
Например, множество натуральных чисел бесконечно, множество точек на окружности бесконечно и т. д.
Задать множество – означает указать необходимое и достаточное условие попадания элемента в данное множество.
Другими словами, указать набор признаков, по которым для любого объекта мы можем сказать, является этот объект элементом данного множества или не является.
Если множество конечное и все его элементы известны, то говорят, что множество задано перечислением своих элементов.
При
этом, если множество
состоит из элементов
,
,
,
то пишут:
.
Если множество бесконечное или конечное, но мы не знаем его элементы, то задание множества осуществляется с помощью указания характеристического свойства элементов этого множества.
Характеристическим свойством элементов данного множества называется необходимое и достаточное условие попадания объекта в данное множество, выраженное словесно или с помощью математических символов.
Например:
читаем: множество
из таких
элементов
,
которые являются вещественными числами,
большими или равными 1. Характеристическое
свойство элементов, входящих в множество
состоит из трёх положений:
объект должен быть числом,
объект должен быть вещественным числом,
объект должен быть вещественным числом, большим или равным единицы.
Элемент , который фигурирует в записи этого множества, называют текущим элементом множества .
Пустые
множества обозначают символом
.
При задании множества учитываются следующие договорённости:
При записи множества порядок символов, обозначающих элемент данного множества не существенен. Т. е., если множество состоит из трёх элементов, обозначенных символами , , , то мы можем записать
, а можем записать
. Заметим, всего видов записи множества , состоящего из трёх элементов ; ; шесть штук.
Один и тот же символ нельзя употреблять для обозначения двух разных элементов. Т. е., если один из элементов множества обозначен символом а, то второй элемент символом, а обозначить нельзя. Нужно применить другой символ, например,
.
Два разных символа нельзя употреблять для обозначения одного и того же элемента. Заметим, ограничения 2 и 3 позволяют сделать вывод, что если мы имеем запись , то это значит, что в множестве имеется в точности три различных элемента, а если мы имеем запись
, то это не запись множества.
Элемент из множества можно взять столько раз, сколько это нужно для рассуждений.
Это означает, что вынимая из множества элемент а, мы не лишаемся его в множестве. Он там по-прежнему присутствует. И мы его можем вынимать столько раз, сколько нам требуется для рассуждений.
Пусть
даны множества
и
.
При этом мы не указываем, какие это
множества – конечные, бесконечные или
пустые. Если каждый элемент множества
является элементом множества
,
т. е.
то
говорят, что множество
есть подмножество
множества
,
и пишут
.
При этом говорят, что множество
есть подмножество множества
,
и пишут
.
По
определению
и
.
Другими словами, у непустого множества
всегда есть, по крайней мере, два
подмножества
и
.
Эти подмножества называются несобственными
подмножествами (тривиальными). Все
остальные подмножества множества
называются собственными
подмножествами.
Если
множество
конечное и состоит из
элементов, то говорят, что множество
имеет длину
и пишут
.
Если
,
то подмножеств у него
.
Например,
если
,
т. е.
,
то оно имеет
подмножеств:
,
,
,
,
,
,
,
.
Других подмножеств у множества М нет.
Пусть даны множества и .
Если
и
,
то множества
и
называются равными.
Другими словами, множества
и
называются равными, если выполняются
следующие условия:
.
При
этом пишут
.
С помощью множеств и можно образовать другие множества.
Объединение
множеств
и
называется такое множество
,
которое состоит из всех элементов
множества
и всех элементов множества
и только из этих элементов.
Объединение
множеств
и
обозначается символом
.
Итак,
.
Например,
если
,
,
то
.
Пересечением
множеств
и
называется такое множество
,
которое состоит из элементов, принадлежащих
одновременно и множеству
и множеству
,
и только из таких элементов.
Пересечение
множеств
и
обозначают символом
.
Итак,
.
Например,
если
и
,
то
.
Разностью множеств и называется такое множество , которое состоит из элементов множества , не входящих в множество , и только из этих элементов.
Разность
множеств
и
обозначают символом
.
Итак,
.
Например,
если
,
,
то
,
а
.
В
частности, если
,
то
называют дополнением множества
до множества
и обозначают символом
.
Например,
если
,
,
то
.
Чтобы наглядно изобразить множества и их взаимосвязи, часто рисуют круги, находящиеся в аналогичных взаимосвязях. Каждый круг на рисунке изображает некоторое множество. При этом точки круга не ассоциируют с элементами множества. Т. е. круг может соответствовать как конечному множеству, так и бесконечному, так и пустому. Это изображение аналогично представлению множества в виде мешка, в котором находятся элементы множества. Мешок может содержать конечное число элементов, бесконечное число элементов, быть пустым.
Круги, с помощью которых наглядно изображаются множества, называются кругами Эйлера-Венна, а способ изображения множеств с помощью кругов называется диаграммами Эйлера-Венна.
Р
ассмотрим
некоторые диаграммы Эйлера-Венна:
рис. 1 рис. 2 рис. 3 рис. 4
Каждая диаграмма соответствует определенной взаимосвязи множеств и :
(рис. 1)
(рис. 2 – заштрихованная часть),
(рис. 3 – заштрихованная часть),
(рис. 4 – заштрихованная часть).
Нередко
бывает так, что рассматривают только
подмножества одного и того же множества
.
Такое множество
называют универсальным
множеством. Понятие универсального
множества относительно. Для каждой
задачи оно свое.
Например,
если
– множество студентов первого курса
географического факультета,
– множество студентов географического
факультета, специальности “Геоэкология”,
– множество спортсменов – студентов
Мордовского госуниверситета,
– множество старост академических
групп факультетов, находящихся в корпусе
№ 4, то в качестве универсального
множества
можно взять множество студентов
Мордовского государственного университета.
Если же
– множество рек Сибири,
– множество озер Европы,
– множество морей, то в качестве
универсального множества можно взять
гидросферу Земли. На диаграмме Эйлера-Венна
универсальное множество
изображают в виде прямоугольника. (рис.
5)
З
аметим,
дополнение множества
до универсального множества
обозначают символом
.
Нужно отметить общепринятые обозначения
некоторых специальных множеств.
– множество
натуральных чисел,
– множество
целых чисел,
– множество
рациональных чисел,
– множество
вещественных чисел.
– множество
вещественных чисел
таких, что
,
(
),
– множество
вещественных чисел
таких, что
,
иначе:
,
– множество
вещественных чисел
таких, что
,
иначе:
,
– множество
вещественных чисел
таких, что
,
иначе:
.