Сущность и этапы метода анализа иерархий

Метод используется для определения приоритетов объектов (коэффициентов важности).

Элементы задачи сравниваются попарно с точки зрения их «веса» или «важности». Парные сравнения приводят к матричной форме – квадратной таблице:

Эта матрица имеет свойство обратной симметричности:

Пусть О₁, О₂,…О_n - множество объектов, а v₁, v₂,…v_n - соответственно их веса. Сравним вес каждого объекта с весом любого другого объекта. Для четырех объектов сравнение представляется следующим образом:

	О1	О2	О3	О4
О1
О2
О3
О4

Шкала важности

Определим шкалу приоритетов.

• Если объекты одинаково важны, в матрицу сравнений заносим 1 ;

• Умеренное превосходство одного объекта над другим - заносим 3 ;

• Существенное или сильное превосходство - заносим 5 ;

• Значительное превосходство - 7

• Очень сильное превосходство - заносим 9 .

2, 4, 6, 8 – промежуточные решения между двумя соседними суждениями.

Обратные величины приведенных чисел: Если при сравнении одного объекта со вторым получено, например, число 3, то при сравнении второго объекта с первым получим обратную величину 1/3.

Сравнивается относительная важность левых элементов матрицы с верхними. Если элемент слева важнее, чем верхний, заносится число от 2 до 9, в противном случае – дробь. Главная диагональ матрицы должна состоять из единиц. Обратными величинами заполняются симметричные клетки.

Локальные приоритеты

Следующий шаг состоит в вычислении вектора локальных приоритетов по матрице парных сравнений. Этот процесс сводится к вычислению главного собственного вектора, который после нормализации становится вектором приоритетов.

Одним из способов вычисления собственных векторов является геометрическое среднее. Полученный столбец нормализуется делением каждого числа на сумму всех чисел. Из таблицы 1 компонента собственного вектора первой строки равна:

Для третьей строки

Получаем вектор {a, b, c, d} . S = a + b + c + d .

Нормализованный результат: , , … , .

Затем производится умножение матрицы (таблицы 1) на вектор приоритетов:

Согласованность матрицы парных сравнений.

Под согласованностью подразумевается то, что при наличии основного массива необработанных данных все другие данные логически могут быть получены из них. Для проведения парных сравнений n объектов при условии, что каждый объект представлен в данных по крайней мере один раз, требуется (n - 1) суждений о парных сравнениях. Из них можно вывести все остальные суждения, используя следующее отношение: если объект А₁ в 3 раза превосходит объект А₂ и в 6 раз превосходит А₃ , то А₁ = 3 А₂ и А₁ = 6 А₃ . Следовательно, 3 А₂ = 6 А₃ , или А₂ = 2 А₃ и А₃ = 1/2 А₂ . Если численное значение суждения в позиции (2, 3) отличается от 2 , то матрица будет несогласованной. Это случается часто. Для большинства задач очень трудно определить (n - 1) суждений, связывающих все объекты или виды действия, одно из которых является абсолютно верным.

Получение индекса согласованности (ИС):

1. Суммируется каждый столбец суждений:

. . .

2. Сумма первого столбца умножается на величину первой компоненты нормализованного вектора приоритетов: S₁x₁ , вторая сумма на вторую компоненту S₂x₂ и т.д.

3. Эти числа суммируются: _max = S₁x₁ + S₂x₂ + S₃x₃ + S₄x₄

4. ИС = , где n - число элементов. Всегда _max  n .

Индекс согласованности сгенерированной случайным образом по шкале от 1 до 9 обратно симметричной матрицы с соответствующими обратными величинами элементов, назовем случайным индексом (СИ). В Национальной лаборатории Окриджа были сгенерированы средние случайные индексы для матриц порядка от 1 до 15 на базе 100 случайных выборок. Случайные индексы увеличивались с увеличением порядка матрицы.

n	3	4	5	6	7	8	…	15
СИ	0.58	0.9	1.12	1.2	1.3	1.4	…	1.59

Отношение индекса согласованности к среднему случайному индексу для матрицы того же порядка называется отношением согласованности (ОС). Значение отношения согласованности, меньшее или равное 0,1 будем считать приемлемым.

Может быть вычислена согласованность всей иерархии: перемножаются ОС по каждому критерию на вес критерия и суммируются (получаем ОС₂). Затем вычисляется среднее ОС из ОС₁(отношение согласованности первой матрицы при сравнении критериев) и ОС₂.