1.2. Вычисление наращенной суммы на основе сложных процентов
Вычисления на основе сложного (кумулятивного) процента означают, что начисленные на первоначальную сумму проценты к ней присоединяются, а начисление процентов в последующих периодах производится на уже наращенную сумму. Сумма, полученная в результате накопления процента, называется наращенной, или будущей стоимостью суммы вклада по истечении периода, за который осуществляется расчет. Первоначальная сумма вклада называется текущей стоимостью.
Механизм наращения первоначальной суммы (капитала) по сложным процентам называют капитализацией.
Расчет наращенной суммы по сложным процентам производиться по формуле:
, (1.1)
где FV – наращенная (будущая) сумма;
PV – первоначальная (текущая) сумма, на которую начисляется процент;
i – ставка сложных процентов, выраженная десятичной дробью;
n – число лет, в течение которых начисляются проценты.
ПРИМЕР 1. Вкладчик внес в банк 500 руб. под 10% годовых. Определить величину наращенной суммы через 4 года.
Начисление процентов может производиться чаще, чем один раз в год – по полугодиям, кварталам, помесячно и, наконец, ежедневно. В подобных случаях для расчета наращенной суммы можно использовать формулу наращения (1.1), в которой величина n будет означать общее число периодов начисления процентов, а ставка i – процентную ставку за соответствующий период.
Однако в большинстве случаев указывается не квартальная или месячная ставка, а годовая, которая называется номинальной. Кроме того, указывается число периодов (m) начисления процентов в году. Тогда для расчета наращенной суммы используется формула:
(1.2)
где j – номинальная годовая процентная ставка;
m – число периодов начисления процентов в году;
n – число лет.
ПРИМЕР 2. Депозит в размере 500 руб. внесен в банк на 3 года под 10% годовых; начисление процентов производится ежеквартально. Определить наращенную сумму.
При увеличении числа периодов m начислений процентов возрастает темп процесса наращения. Так, например, если исходя из условий предыдущей задачи начисления процентов производить ежемесячно, то наращенная сумма:
Кроме номинальной ставки существует понятие эффективной, или действительной, процентной ставки. Эффективная ставка измеряет тот относительный доход, который получает владелец капитала в целом за год. Другими словами, отвечает на вопрос: какую годовую ставку процентов необходимо установить, чтобы получить такой же финансовый результат, как и при m-разовом (ежемесячном или ежеквартальном) начислении процентов в году по ставке j/m. Эффективная ставка сложных процентов:
+
ПРИМЕР 3. Необходимо определить эффективную ставку сложных процентов с тем, чтобы получить такую же наращенную сумму, как и при использовании номинальной ставки j=18%, при ежеквартальном начислении процентов.
Начисление процентов на проценты это эффективное средство накопления денег. Это становится очевидным, если рассчитать, как много времени понадобится для того, чтобы удвоить сумму инвестиций (табл. 2).
Таблица 2
Расчет времени удвоения первоначальной суммы, вложенной в банк
-
Процентная ставка (i)
Время удвоения первоначальной суммы, лет
0,02
0,05
0,10
0,15
0,20
35,0
14,2
7,3
5,0
3,8
Правило 72 (см. лекции, тема 3) используется для примерного расчета количества лет, необходимых для увеличения наличной суммы в два раза при условии, что весь процент остается на депозите.
Количество периодов, необходимое для удвоения первоначальной суммы вычисляется как
где i – ставка сложных процентов
Данное правило рекомендуется применять при ставке, изменяющейся от 3 до 18%.