3.5. Численное интегрирование систем оду и уравнений старших порядков

Рассмотрим задачу Коши для системы n уравнений 1-го порядка

.

Саму систему и начальные условия запишем в векторной форме

, (3.12)

где – искомая вектор-функция скалярного аргумента x, – заданная вектор-функция скалярного аргумента x и векторного аргумента , – вектор начальных значений. Для решения задачи (3.12) можно использовать расчетные формулы (3.3) (метод Эйлера), (3.4) (модифицированный метод Эйлера), (3.6) (метод Эйлера-Коши) и (3.9)-(3.10) (метод Рунге-Кутта), только применять их надо в векторной форме. Например, формулы (3.4) будут иметь вид

,

где – значения искомой вектор-функции в узлах . В формулах (3.9)-(3.10) тоже используются векторные величины:

,

, ,

, .

Чтобы применить разобранные методы для численного решения задачи Коши для уравнения старших порядков, а именно

, (3.13)

задачу (3.13) путем замены следует свести к задаче (3.12): полагаем , , …, . В результате получаем задачу (3.12), где правая часть векторного уравнения (проверьте!), а вектор начальных значений .

Рассмотрим подробнее, что мы должны делать в случае численного решения задачи Коши для уравнения 2-го порядка:

.

Путем замены , получаем задачу (3.12), где правая часть векторного уравнения , а вектор начальных значений . Ниже приведены расчеты для двух узлов с шагом для каждого из методов (из условия ).

1. Самый простой метод – метод Эйлера (используем векторный вариант формул (3.3)).

1-й шаг: , тогда , .

2-й шаг: , тогда , .

2. Модифицированный метод Эйлера (используем формулы ).

1-й шаг: ,

, тогда , .

2-й шаг: ,

, тогда , .

3. Метод Эйлера-Коши (используем векторный вариант формул (3.6)).

1-й шаг: , ,

,

, тогда , .

2-й шаг: , ,

,

, тогда , .

4. Самый эффективный из рассмотренных методов – метод Рунге-Кутта (используем формулы - ).

1-й шаг: , ,

,

,

,

, тогда , .

2-й шаг: , ,

,

,

, тогда , .

Ниже приведены данные компьютерного расчета для данного уравнения для отрезка . При этом указаны результаты для точного решения задачи (проверьте, что это действительно решение указанной задачи). Небольшое расхождение приведенных выше данных и данных в таблице объясняется тем, что компьютерная программа при расчетах учитывает 18 знаков после запятой, а здесь мы учитывали только 4 знака.

	Метод Эйлера		Модиф. метод Эйлера		Метод Эйлера-Коши		Метод Рунге-Кутта		Точное решение
0,1	0,1	1	0,1	1,01	0,1	1,0099	0,100333	1,01	0,100333		1,01
0,2	0,2	1,0198	0,202	1,0399	0,202	1,0397	0,202667	1,04	0,202667		1,04
0,3	0,302	1,059	0,308	1,0898	0,308	1,0894	0,309	1,09	0,309		1,09
0,4	0,4079	1,1173	0,42	1,1596	0,4199	1,159	0,421333	1,16	0,421333		1,16
0,5	0,5196	1,1944	0,5399	1,2494	0,5398	1,2486	0,541666	1,250001	0,541667		1,25
0,6	0,6391	1,2899	0,6699	1,3591	0,6697	1,358	0,672	1,360001	0,672		1,36
0,7	0,768	1,4037	0,8118	1,4888	0,8114	1,4873	0,814333	1,490001	0,814333		1,49
0,8	0,9084	1,5356	0,9676	1,6385	0,9672	1,6366	0,970666	1,64	0,970667		1,64
0,9	1,062	1,6855	1,1395	1,808	1,1388	1,8057	1,142999	1,81	1,143		1,81
1	1,2305	1,8531	1,3293	1,9976	1,3284	1,9948	1,3333	2	1,3333		2

В последней строке таблицы указаны максимальные погрешности вычислений для каждого метода (следует заметить, что при вычислениях по методу Рунге-Кутта для шага следует проводить вычисления с 6-ю знаками после запятой).

Данный пример наглядно демонстрирует, какой из методов эффективней при данном шаге h интегрирования (а именно, метод Рунге-Кутта, хотя и требует большего количества вычислений).

Задания

1. Найти численное решение задачи Коши для ДУ-1 (по методу Эйлера) на отрезке с шагом . Построить ломаную Эйлера и интегральную кривую точного решения. Указать максимальную погрешность.

1. , 2. , 3. ,

4. , 5. , 6. ,

7. , 8. , 9. ,

10. , 11. , 12. ,

13. , 14. , 15. ,

16. , 17. , 18. ,

19. , 20. , 21. ,

22. , 23. , 24. ,

25. , 26. , 27. ,

28. , 29. , 30. ,

2. Найти численное решение задачи Коши для ДУ-1 с нулевым начальным условием (по методу Эйлера-Коши) на отрезке с шагом . Указать порядок погрешности.

1. 2.

3. 4.

5. 6.

7. 8.

9. 10.

11. 12.

13. 14.

15. 16.

17. 18.

19. 20.

21. 22.

23. 24.

25. 26.

27. 28.

29. 30.

3. Найти численное решение задачи Коши для ДУ-2 (по модифицированному методу Эйлера и методу Рунге-Кутта) на отрезке с шагом . Указать порядок погрешности.

1. , 2. ,

3. , 4. ,

5. , 6. ,

7. , 8. ,

9. , 10. ,

11. , 12. ,

13. , 14. ,

15. , 16. ,

17. , 18. ,

19. , 20. ,

21. , 22. ,

23. , 24. ,

25. , 26. ,

27. , 28. ,

29. , 30. ,