3.3. Модификации метода Эйлера

Фактически, метод Эйлера получен из разложения решения дифференциального уравнения (3.1) в ряд по степеням с отбрасыванием членов, содержащих в степени выше первой. Для получения более точной формулы можно использовать еще и член, содержащий . На практике более широкое применение получали следующие два улуч­шенных метода Эйлера.

Модифицированный метод Эйлера

Расчетная формула модифицированного метода Эйлера имеет вид:

(3.4)

Смысл этого метода состоит в следующем. Сначала вычисляем приб­лиженное значение решения при (то есть сдвигаемся не на шаг , а на полшага) обычным методом Эйлера (эту точку обычно обозначают , чтобы показать промежуточный характер вычислений), а затем в найденной точке определяем наклон интегральной кривой и по этому наклону определяем (рис. 3.2).

Остаточный член модифицированного метода Эйлера (т.е. локальная погрешность) на каждом шаге имеет порядок .

Метод Эйлера-Коши

Расчетная формула метода Эйлера-Коши имеет вид:

(3.6)

Здесь мы сначала определяем "грубое приближение" по методу Эйлера

(3.7)

и наклон интегральной кривой в новой точке (рис. 3.3) , а затем находим величину (как бы усредняем наклон на данном шаге ) и уточняем значение

(3.8)

Остаточный член метода Эйлера-Коши имеет на каждом шаге порядок .

3.4. Метод Рунге - Кутта

Метод Рунге-Кутта является одним из наиболее употребитель­ных методов повышенной точности. Большинство компьютерных программ, предназначенных для численного интегрирования ОДУ, основаны именно на этом методе.

Пусть по-прежнему требуется найти численное решение урав­нения , удовлетворяющее условию , на отрезке .

Обозначим приращение решения , где как раз и надо вычислить. Представим приращение в виде суммы некоторых "поправок" с некоторыми коэффициентами : . Общие формулы для этих поправок и коэффициентов мы здесь приводить не будем. Укажем лишь на то, что они получаются при сравнении разложений и по степеням .

Здесь мы ограничимся рассмотрением наиболее распространенного «четырехточечного метода Рунге-Кутта». Итак, при , , где

, , , .

С помощью этих формул находим сначала . Далее, все последующие значения приближенного решения: , , …, , …. Этот процесс можно представить геометрически. В точке вычисляется тангенс угла наклона касательной ; используя его, мы идем на половину шага вперед и смотрим тангенс угла наклона здесь . Используем его, мы опять начинаем из точки , идем вперед на половину шага и находим тангенс угла наклона . Взяв этот последний тангенс, мы опять начинаем из точки , идем вперед на полный шаг и находим тангенс угла наклона . Найденные четыре тангенса наклона усредняем с весами , , , и, беря этот средний тангенс, делаем окончательный шаг от к .

Таким образом, по методу Рунге-Кутта вычисление приближен­ного значения в точке производится по формулам:

, , (3.9)

, где

, , (3.10)

, .

Известно, что локальная погрешность формул Рунге-Кутта имеет порядок , значит, в данном «четырехточечном» методе она составляет .

Как видно, с алгоритмической точки зрения метод Рунге-Кутта не имеет принципиальных различий от метода Эйлера. Разница лишь в объеме вычислений: для получения нового значения на каждом шаге необходимо проделать все действия, предусмотренные формулами выше.

На практике применяется следующий способ контроля точности для метода Рунге-Кутта (аналогичный правилу Рунге оценки точности при вычислении определенного интеграла, см. лабораторную работу №2) – двойной счет. Если , , — вычисленные значения с шагом , а – вычисленные значения с шагом , то для ориентировочной оценки погрешности численного решения (в качестве его значений берутся ) можно использовать формулу:

. (3.11)