2.2.2. Фази змінної величини і фазовий кут. Векторні діаграми.

Величина, яка змінюється за періодичною (синусоїдною) функцією, протягом періоду проходить всі стадії своєї зміни. Окремі стадії зміни величини називають фазами. Кожній фазі змінної величини відповідає конкретне миттєве значення цієї величини. Графічне надання закону зміни фаз (миттєвих значень) величини у часі називають часовою діаграмою.

Разом з тим, миттєве значення характеризує фазу змінної величини лише з кількісного боку і зовсім не відображає її якісного стану. Для пояснення цієї тези використаємо часову діаграму струму (рис. 2.4, а), де в межах одного періоду виділені чотири чисельно однакових миттєвих значення струму: i₁, i₂, i₃, i₄.

Т

Рис. 2.4. До поняття фазовий кут та початкова фаза синусоїдної величини

ак, якщо виходити тільки з миттєвих значень (кількісного чинника), то фази i₁ та i₂ нічим не відрізняються між собою. Таке ж можна сказати і про фази i₃ та i₄, які відрізняються від попередньої пари знаком (у фазах i₁ та i₂ струм має умовно додатний, а у фазах i₃ та i₄ – умовно від’ємний напрямок дії). Разом з тим, у фазу i₁ струм приходить в результаті збільшення, а у фазу i₂ в результаті зменшення свого значення. Оскільки подібні міркування вірні для пари i₃ та i₄, то виходить, що кожна з розглянутих фаз відрізняється якісним чинником – електричним кутом t.

Отримані раніше рівняння розрахунку миттєвих значень ЕРС, струму, і напруги описують окремий випадок – коли при t = 0, змінна електрична величина також дорівнює нулю. Для загального випадку зазначені рівняння можна записати так:

,

,

.

У наведених рівняннях величину (t  ) називають фазовим кутом синусоїдної величини (ЕРС, струму, напруги). Кут  тут характеризує момент часу, який прийнятий за початок відліку синусоїдної величини, тобто початкову фазу величини (_e, _i, _u – початкова фаза, відповідно, ЕРС, струму, напруги). Його чисельне значення вважають додатним, коли на часовій діаграмі найближча до початку координат точка переходу синусоїдної величини з від’ємної області у додатну знаходиться ліворуч вісі ординат (рис. 2.4, б) і від’ємною – коли праворуч (рис. 2.4, в).

Наведені вище рівняння дають можливість визначати миттєві значення окремих синусоїдних величин, але не описують зв’язок між цими величинами. Так, якщо аналізувати дві змінні величини одночасно, наприклад струм і напругу, то обов’язково потрібно вказати взаємозв’язок між фазами цих величин.

Величини називають такими, що співпадають за фазою (рис. 2.5, а), якщо вони змінюються за однаковим законам і одночасно проходять через відповідні фази, наприклад, одночасно проходять через нуль і одночасно досягають своїх максимумів. У випадку неодночасного проходження через відповідні фази (рис. 2.5, б, в), величини називають такими, що не співпадають за фазою, або зсунутими за фазою. Кут, на який зсунуті між собою у часі однакові (початкові) фази двох електричних величин, називають кутом зсуву фаз і позначають .

При наявності зсуву фаз (  0^) величини розрізняють на таку, що випереджає за фазою і що відстає. Величина, яка раніше проходить через відповідні фази в межах кута 180^ є тією, що випереджає, а яка пізніше – що відстає. На часовій діаграмі такі величини визначають за місцем знаходження їх амплітудних значень. Для цього на осі часу виділяють проміжок в межах 0 – 180 і відмічають місце знаходження однакових за знаком амплітудних значень величин. Перше амплітудне значення з боку кута 0^ відповідає величині, що випереджає, друге – що відстає. При j = 180^ поняття випереджаюча і відстаюча величини втрачають сенс. Тут будь-яку з них можна прийняти або випереджаючою, або відстаючою.

К

Рис. 2.5. Суміщена часова діаграми синусоїдних струму та напруги

ут зсуву фаз  двох синусоїдних величин однієї і тієї ж частоти, визначають як різницю початкових фаз цих величин. Наприклад, зсув фаз між синусоїдами напруги і струму визначають так:

.

Для суміщеної часової діаграми, наведеної на рис. 2.5, а, де _u = _i = 0^ кут зсуву фаз між синусоїдами струму і напруги дорівнює нулю. Для діаграм, наведених на рис. 2.5, б, де синусоїда струму (_i =  90^) відстає від синусоїди напруги (_u = 0) та рис. 2.5, в, де синусоїда струму (_i = 90^) випереджає синусоїду напруги (_u = 0^) маємо, відповідно:

 = 0^ – ( 90^) = 90^ та  = 0^– 90^ =  90^.

Рис. 2.6. Векторна (а) та часова (б) діаграми синусоїдного струму

Для графічного зображення електричної величини (ЕРС, струму, напруги), окрім часової часто використовують так звану векторну діаграму. На векторній діаграмі (рис. 2.6, а) закон зміни електричної величини показують за допомогою проекцій на вісь ординат вектора, який обертається із кутовою частотою . Можливість такого зображення обумовлена тим, що проекція такого вектора на вісь ординат, як і миттєві значення величини, змінюється у часі за законом синусу (рис. 2.7, б). Таким чином, у загальному випадку, векторна діаграма являє собою сукупність векторів, які на визначений момент часу зображують синусоїдні величини однієї частоти на декартовій або комплексній площинах. На векторній діаграмі зручніше, ніж на часовій, здійснювати математичні дії (додавання чи відніматння) з синусоїдними величинами, а також розкладати величини на складові. Покажемо ці переваги векторної діаграми на прикладі додавання синусоїдних струмів (рис. 2.7).

Припустимо, потрібно додати два струми:

.

У підсумку додавання двох синусоїд на часовій діаграмі (рис. 2.7, б) отримуємо результуючу синусоїду, яка описується рівнянням:

.

В результаті додавання двох векторів на векторній діаграмі (рис. 2.7, а), одержимо вектор довжиною _m, кут нахилу якого до вісі абсцис дорівнює _i .

Рис. 2.7. Додавання двох синусоїдних величин на векторній (а) і часовій (б) діаграмах

Стрілки, які ставлять на кінці кожного вектора призначені для того, щоб відрізнити початок вектора від його кінця. Це важливо, оскільки при додаванні кількох векторів початок другого і далі векторів можуть не співпадати з початком координат. Покажемо це на прикладі геометричного додавання струмів _1m, _2m, _3m (рис 2.8).

Так, замість попарного додавання векторів і побудови кількох паралелограмів, зручніше з кінця _1m, з урахуванням ₂, відкласти _2m і, далі, з кінця _2m, також з урахуванням фази, відкласти _3m. З’єднавши початок координат з кінцем _3m, отримуємо результат додавання – вектор довжиною _m, кут нахилу якого до вісі абсцис дорівнює .

Рис. 2.8. Геометричне додавання векторів

На практиці часто доводиться будувати суміщені векторні діаграми – коли на одній площині показують вектори струмів і напруг. На таких діаграмах кут зсуву фаз  між величинами показують по найкоротшій кутовій відстані від вектора струму до вектора напруги. Знак кута  при цьому визначають за правилом тригонометрії – кут який, відкладають проти годинникової стрілки вважають додатним, а за годинниковою стрілкою – від’ємним. На рис. 2.9 наведені суміщені векторні діаграми струмів і напруг, які відповідають часовим діаграмам зображеним на рис. 2.5.

Рис. 2.9. Суміщена векторна діаграма струмів та напруг