8.3.3. Розрахунок електричних кіл синусоїдного струму символічним методом

Як зазначалося, при використанні комплексної форми запису ЕРС, напруги, струму, опору ( провідності ) для складання рівнянь за законами Ома і Кірхгофа в колах синусоїдного струму диференціальні рівняння зводяться до алгебраїчних. А тому всі методи розрахунку електричних кіл, які розглядалися під час аналізу кіл постійного струму, можна вико-ристовувати також для кіл синусоїдного струму.

Не повторюватимемо всіх теоретичних викладок, а розглянемо розрахунки на конкретних прикладах.

Приклад 1. Розрахувати електричне коло, зображене на рис. 13.4.

Рис.8.23

Розв’язання. Запишемо комплекс напруги, В:

Визначимо комплекси опорів кожної вітки, Ом:

Схема набере вигляду, показаного на рис. 8.23,а. Вибираємо довільно додатний напрям напруги і струму і позначаємо на схемі стрілками. Визначаємо еквівалентний опір паралельно ввімкнених споживачів, Ом:

Одержуємо перетворену схему, показану на рис. 8.23,б.

Знаходимо еквівалентний опір усього кола, Ом:

Обчислюємо загальний струм, А:

Для визначення струмів і знайдемо напругу на спільному опорі , тобто напругу на опорах і , В:

Обчислюємо струми, А:

Виконуємо перевірку ( за першим законом Кірхгофа для вузла а):

; ; .

Розбіжність у дійсній та уявній частинах струму, що становить 0,001 А, дуже мала і пояснюється округленням результатів розрахунку.

Знайдемо спад напруги на споживачі , В:

Виконаємо перевірку ( за другим законом Кірхгофа знаходимо

):

.

Напруга джерела (мережі)

Невелика розбіжність, що дорівнює десятим і сотим часткам вольта, пояснюється округленням результатів розрахунку.

Перевіримо баланс потужностей:

Потужність джерела, В·А,

.

Потужність споживачів, В·А,

.

Оцінемо точність розрахунку:

за активною потужністю

за реактивною

.

Як бачимо, обидві похибки значно менші за 1%, тобто розрахунок виконано з достатньою точністю.

На комплексній площині будуємо векторну діаграму (рис. 8.24).

Рис.8.24

8.4. Потужність у колах змінного струму

Як було показано при вивченні найпростіших кіл змінного струму, миттєва потужність у таких колах є функцією часу і визначається за форму-лою . Наприклад, розглянемо енергетичні процеси в колі, складеному з послідовно з’єднаних елементів (див. рис. 8.1). Напруга для цього кола згідно з (8.1)

.

Миттєва потужність кола визначається сумою миттєвих потужностей окремих його ділянок:

,

де , – енергія відповідно магнітного поля котушки індуктивності та електричного поля конденсатора.

З останньої формули бачимо, що потужність є завжди величиною додатньою і характеризує незворотний процес перетворення елек-тричної енергії на теплоту на ділянці кола з опором . Потужність визначає при >0 швидкість надходження енергії від джерела в магнітне поле котушки , а при <0 – швидкість повернення енергії з магнітного поля котушки до джерела. Потужність визна-чає при >0 швидкість надходження енергії від джерела в електричне

поле конденсатора, а при <0 – швидкість повернення енергії з електричного поля конденсатора до джерела.

Припустимо, що до кола (див. рис. 8.1) прикладено синусоїдну напругу ; тоді струм у цьому колі також буде синусоїдною функцією часу. Вважатимемо, що початкова фаза струму дорівнює нулю, тобто ; тоді

.

Напруга

,

оскільки

.

Миттєва потужність

. (8.60)

Скориставшись із тригонометрії формулою

,

) запишемо у вигляді

. (8.61)

Із формули (8.61) випливає, що миттєву потужність можна подати у вигляді двох складових: сталої, яка, у свою чергу, дорівнює активній потужності, тобто , і змінної, яка змінюється з подвійною частотою і дорівнює . Часові графіки зміни потужності показано на рис8.25.

u,i,p

p

u

ωt

+

+

-

-

-

UIcos φ

i

Рис.8.25

Якщо миттєва потужність додатна (>0), то енергія від джерела надходить у коло; якщо миттєва потужність від’ємна (<0 ), то енергія з кола повертається до джерела. Із рис. 8.25 бачимо, що додатна потужність перевищує від’ємну. Це свідчить про те, що частина енергії витрачається в колі, не повертаючись до джерела. Як уже відомо, це активна потуж-ність, яка витрачається в активному опорі. Щоб переконатися в цьому, з урахуванням формули із тригонометрії формулу для миттєвої потужності (8.61) запишемо у вигляді

, (8.62)

де , – амплітуда відповідно активної складової потужності та складової реактивної потужності.

З огляду на це формулу (8.63) запишемо у вигляді

. (8.64)

Побудуємо графік (рис. 8.26), з якого бачимо, що потужність увесь час надходить у коло і витрачається в ньому.

Потужність характеризує незворотний процес перетворення електричної енергії на теплоту в опорі . Як зазначалося, цю потужність називають активною. Потужність протягом додатних чвертей періоду надходить у коло, а протягом від’ємних – повертається до джерела . У цілому ця енергія не витрачається. Таку потужність називають реактивною. Неважко переконатися, що всі миттєві потужності змінюються з частотою ,тобто з частотою, яка вдвічі перевищує частоту струму і напруги.

Визначимо активну потужність за період (тобто активну потужність кола). Згідно з (7.8) знайдемо

UIcos φ

UIsin φ

UIcos φ

ωt

π

2π

Q

Рис.8.26

,

оскільки другий інтеграл дорівнює нулю.

Отже, активна потужність, яка споживається колом, залежить від діючих значень струму, напруги і кута зсуву фаз між напругою і струмом:

. (8.65)

Реактивна потужність за період

. (8.66)

Як відомо, залежно від співвідношення і (або і ) кут зсуву фаз між струмом і напругою може бути додатним (>0) при індуктивному характері кола або від’ємним (<0) при ємнісному характері кола. Якщо >0, то і >0, якщо <0, то і <0.

Добуток діючого значення напруги на діюче значення струму називають повною потужністю і визначають за формулою, В ∙А:

. (8.67)

Помноживши сторони трикутника напруг на струм або сторони трикутника опорів на квадрат струму ), дістанемо трикутник потужностей (рис.8.27).

Рис.8.27

Із трикутника потужностей визначаємо:

; ; . (8.68)

Одиниці потужності: активної – ват [Вт]; реактивної – вольтампер реактивний [вар]; повної – вольтампер [В∙А].

Відношення активної потужності до повної називають коефіцієнтом потужності, який визначають за формулою

. (8.69)

Отже, коефіцієнт потужності дорівнює .

На рис. 8.28одну під одною зображено діаграми струму, напруги і потужностей для кола з послідовним з’єднанням . На цих діаграмах легко простежити всі процеси, що відбуваються в даному колі (символом позначено реактивну потужність: ).

На рис. 8.29 стрілками показано для різних інтервалів часу дійсні напрями струму та напруги на затискачах кола і на всіх його ділянках. Стрілками »» показано напрями потоків енергії у відповідні інтервали часу.

Рис8.29,а відповідає інтервалу часу від нуля до , протягом якого струм зростає від нуля до максимального значення. У цей проміжок часу

Рис8.28

енергія від джерела надходить в активний опір і витрачається в ньому. Витрати енергії в опорі пропорційні .

Крім того, енергія від джерела надходить у котушку і запасається в ній. А оскільки напруга на конденсаторі за абсолютною величиною зменшується, енергія електричного поля, нагромаджена в конденсаторі, пе-реходить із конденсатора в котушку і нагромаджується в ній у вигляді магнітного поля котушки. У цей момент

>; >.

Рис. 9.5,б відповідає інтервалу часу (див. рис. 9.4) від до ,

протягом якого струм зменшується і енергія, нагромаджена в котушці у вигляді магнітного поля, повертається з котушки в коло. Частина цієї

енергії надходить у конденсатор, який при цьому заряджається, а частина – в опір і витрачається в ньому у вигляді теплоти. У момент часу

= миттєва потужність на затискачах усього кола дорівнює нулю

().

Рис. 8.29,в відповідає інтервалу часу (див. рис. 8.28) від до протягом якого струм продовжує зменшуватись і в момент часу = дорівнює нулю. Енергія, яка була зосереджена в магнітному полі котушки, продовжує повертатися з неї; частина цієї енергії надходить до конденсатора і заряджає його, а частина надходить в опір і витрачається у вигляді теплоти. Крім того, частина енергії магнітного поля котушки повертається до джерела. На цьому проміжку часу миттєва потужність від’ємна (<0). Увесь розглянутий проміжок часу відповідає половині періоду струму. Протягом цього проміжку завершується один повний цикл коливань енергії, оскільки період миттєвої потужності вдвічі менший за період струму. У наступну половину періоду зміни струму енергетичний процес повторюється, але дійсні напрями всіх напруг і струмів змінюються на протилежні.

Рис.8.29