ЛЕКЦІЯ 4

Тема 6. Розрахунок електричних кіл змінного струму.

6.1. Послідовне з’єднання R,L.C елементів.

6.2. Паралельне з’єднання R,L.C елементів.

6.3. Розгалужені електричні кола.

6.3.1. Зображення електричних велечин комплексними числами

6.3.2. Розрахунок електричних кіл синусоїдного струму символічним методом.

6.4. Потужність у колах змінного струму.

Лекція 4

Тема 8. Розрахунок електричних кіл змінного струму

8.1. Послідовне з’єднання r, l, c елементів

Застосовуючи другий закон Кірхгофа до кола, показаного на рис. 8.1, дістаємо

, (8.1)

де – напруга на конденсаторі в момент часу , тобто в момент вмикання даного кола в напругу .

Формула (8.1) є лінійним неоднорідним диференціальним рівнянням зі сталими коефіцієнтами. Загальний розв’язок складається з частинного (поодинокого) розв’язку , який визначається виглядом функції і повного інтеграла однорідного диференціального рівняння, яке дістають з (8.1) , поклавши, що .

Рис.8.1

Розв’язавши рівняння (8.1), можна визначити струм і спад напруги на ділянках кола для будь-якого режиму роботи кола при зміні прикладеної напруги згідно з будь-яким законом. А оскільки ми розглядаємо сталий режим у колі з послідовним з’єднанням де спільним для всіх елементів є струм , то розв’язання задачі можна значно полегшити.

Вважатимемо, що в колі протікає синусоїдний струм

. (8.2)

Потрібно знайти напругу на затискачах кола. Як встановлено раніше, напруга також буде синусоїдною такої самої частоти, необхідно лише визначити її амплітуду і початкову фазу .

Підставивши (8.2) у (8.1) і вважаючи, що конденсатор до вмикання кола не був заряджений ( тобто , дістаємо

(8.3)

Величина

є реактивним опором даного кола. Якщо x > 0, коло має індуктивний характер, якщо x < 0 – ємнісний.

Рівняння (8.3) можна записати у вигляді

(8.4)

Побудуємо часову та векторну діаграми струму і напруги ( рис. 8.2).

Рис.8.2

Амплітуду прикладеної напруги визначимо за векторною діаграмою

( рис. 8.2,б ) Вектор дорівнює сумі векторів (рис. 8.3). До кінця вектора прикладено початок вектора , а до кінця – початок вектора . Сумарний (результуючий ) вектор дістанемо з’єднанням початку вектора з кінцем вектора . Тут же дістанемо початкову фазу напруги і кут зсуву фаз між струмом і напругою

.

Із прямокутного трикутника ( рис. 8. 3) достаємо , або поділивши це рівняння , матимемо співвідношення для діючих значень напруги:

(8.5)

Зазначимо, що в колах синусоїдного струму при послідовному з’єднанні активного та реактивного опорів для діючих ( або амплітудних ) зна-чень спаду напруги загальний спад напруги не можна записати як алгебраїчну суму діючих ( або амплітудних ) значень спаду напруги на окре-мих елементах кола . Такий запис є грубою помилкою.

Загальний спад напруги визначають за рівнянням (8.5). Рівняння (8.5) перепишемо так:

Рис.8.3

. (8.6)

Величина є повним опором досліджуваного кола, який позначають . (8.7)

Із цього самого трикутника (див. рис. 8.3) визначимо кут зсуву фаз між струмом і напругою :

; (8.8)

. (8.9)

Початкова фаза прикладенної до затискачів кола напруги

. (8.10­)

Отже, ми визначили діюче значення прикладеної до кола напруги (8.5) і її початкову фазу (8.10). Поділивши трикутник напруг ( див. рис. 8.3) на струм , дістанемо трикутник опорів ( рис. 8.4), з якого визначаємо

; ; (8.11)

; . (8.12)

Рис.8.4

Якщо задано напругу на затискачах кола , то сила струму

. (8.13)

У цьому разі, якщо >0, то струм відстає за фазою від напруги (коло має індуктивний характер), якщо <0, то струм випереджає за фазою напругу (коло має ємнісний характер). Кут визначають за (8.9).

Якщо , то струм і напруга збігаються за фазою. Такий режим роботи кола з послідовним з’єднанням називають резонансом напруги (розглянемо його далі).

Часто прикладену до затискачів кола з послідовним напругу зручно подати у вигляді двох складових:

активної

, (8.14)

що збігається за напрямом з вектором струму ,

і реактивної

, (8.15)

розміщеної під кутом 90⁰ до струму .

При введенні активної та реактивної складових напруги можна від векторних діаграм перейти до трикутника напруг. На рис. 8.5,а показано трикутник напруг при індуктивному навантаженні, а на рис. 8.5,б – при ємнісному. Базисним вважають вектор струму.

Рис.8.5

Поділивши сторону кожного трикутника на , дістанемо трикутник опорів (рис. 8.6):

; ; . (8.16)

Приклад 1. Коло з послідовним з’єднанням і ввімкнено до синусоїдної напруги (рис. 8.7) . Визначити струм , побудувати часову та векторну діаграми.

Рис.8.6

Розв’язання. Визначимо струм :

,

Рис.8.7

де ; ; ; .

Залежно від співвідношення опорів і кут може набувати значень . Струм за фазою відстає від напруги. Часову та векторну діаграми показано на рис. 8.8.

Рис.8.8

Приклад 2 Визначити струм і побудувати векторну діаграму для кола, зображеного на рис. 8.11. Задано та усіх елементів.

Розв’язання . 1.Опори реактивних елементів ; ;

; ; .