2.2. Законы распределения случайных сигналов
Закон распределения иначе называется плотностью распределения или дифференциальным законом. По сути, это отношение дифференциала вероятности к дифференциалу напряжения, dp/ds. В него обычно входят параметры: математическое ожидание и дисперсия.
Для построения воспользуемся возможностями программы Mathcad.
С помощью следующих встроенных функций по заданным параметрам можно построить нужные законы распределения плотностей [11].
Функция dnorm (x,μ,σ) задает плотность нормального закона распределения, где x – аргумент, μ – среднее значение (обычно принимается равным нулю), σ – среднеквадратичное отклонение,
.
Функция dunif (x,a,b) задает плотность равномерного закона распределения, где a и b – граничные точки интервала a≤x≤b,
.
Функция dexp(x,r) задает плотность экспоненциального закона распределения, где r – параметр распределения, причем r, x > 0,
.
Функция dgamma(x,s) задает плотность Гамма-распределения, где s – параметр масштаба (x,s>0). Причем плотность распределения не выражается в элементарных функциях и имеет вид
,
где Г(s) – гамма функция от параметра s (параметра формы). Плотность определена в области положительных значений x.
Примеры использования встроенных функций приведены в Приложении 3.
2.3. Определение интервала корреляции
Корреляция характеризует статистические связи между его значениями и поведение сигнала во времени. Последнее связано со спектром, что имеет важное прикладное значение. Характеристика корреляции – функция автокорреляции сигнала. Интервал корреляции – это временная константа, показывающая предел наличия статистической связи (внутри) и отсутствие за интервалом.
По заданной функции автокорреляции вычислим интервал корреляции:
.
(13)
Этот параметр характеризует статистическую связь, скорость случайной функции источника. Функция АКФ в (2.1) заданы в виде
(14)
и
.
(15)
Поэтому необходимо решить интегралы с помощью MathCAD, обратив внимание на величину верхнего предела, который должен быть достаточно большой. Оценить его надо по убыванию подынтегральной функции.
Допустимо так же и аналитическое решение, для чего нужно вспомнить методы решений изучаемее в курсе математики [9, 10].
2.4. Спектральные характеристики случайного сигнала. Полоса частот
Напомним, что функция корреляции определяет, среди прочего, и скорость случайного сигнала S(t), следовательно, и его спектр G(ω). В отличие от спектра детерминированного сигнала, это энергетический спектр с размерностью Вт/Гц. Энергетический спектр (спектральная плотность мощности) стационарного случайного сигнала и его функция корреляции связаны через преобразование Фурье:
.
(16)
где K(τ) – ненормированная функции корреляции.
При заданных случайных сигналах имеем два вида функций автокорреляции (2.2) и (2.3).
Выражения для энергетического спектра может быть найдено аналитически, так как решение интегралов известно [9, 10].
Для сигнала с K1(τ) спектральная плотность мощности имеет вид:
(17),
и для сигнала с К2(τ)
.
(18)
Для дискретизации сигналов необходимо ограничить спектры сигналов. Подойдем к этой задаче следующим образом. Поскольку G(w) есть распределение мощности по спектру, то проинтегрировав ее в бесконечных пределах, получим мощность сообщения (сигнала), которая равна дисперсии. Если же проинтегрировать в конечной полосе частот wгр, то по смыслу это будет мощность ограниченного по спектру сообщения:
.
(19)
Ограничивая верхний предел, получим неполную мощность. Если задать долю P` от полной, можно определить и граничную частоту спектра, подобно тому, как это было сделано для детерминированного сигнала
Для сигнала с АКФ (18), дисперсией 2,3 Вт и λ1=12000 получим зависимость, показанную на рис. 3.
Рис. 3. Зависимость мощности источника от граничной частоты
При ограничении мощности на уровне 95%, что составит 2,185 Вт, граничная частота будет равна 23,9 кГц.
3. ПРИНЦИПЫ формирования цифрового сигнала
Исходными данными для формирования цифрового сигнала будут:
- граничная частота спектра сигнала;
- отношение минимальной мгновенной мощности сигнала к шуму квантования;
- отношение максимальной мгновенной мощности к минимальной.