7. Расчет вероятности ошибки приемника в непрерывном канале c аддитивным «белым шумом»

В общем случае математическая модель принимаемого сигнала может быть представлена следующим образом:

, , (48)

где N – число сигналов, переданных за сеанс связи;

rk – последовательность информационных символов;

S_i=

S_i(t), 0 < t < T, r_к = i;

0, t < 0 или t > T

 реализация сигналов;

 – постоянный коэффициент;

 – время запаздывания;

T – длительность передаваемых сигналов;

(t) – случайная помеха в виде «белого шума» с односторонней спектральной плотностью .

Расчет вероятности ошибки прежде всего необходим при оптимальной схеме приемника, т. е. наилучшей в смысле заданного критерия. В технике связи критерием является критерий Котельникова (оптимального наблюдателя). Согласно его требованиям полная вероятность ошибки должна быть минимальной.

Для реализации такого критерия служит оптимальная решающая схема. При равновероятных и взаимонезависимых сигналах решающая схема поэлементного приема принимает решение независимо от решения относительно других символов и имеет вид:

(49)

Символ S_i над неравенством указывает на то, что решение принимается в пользу сигнала S_i. Из общей формулы (49) можно получить простые записи с оговоркой тех или иных условий. Будем считать, что отсчет времени начинается с началом k-го элемента сигнала и что C(t) = S(t) – приходящий полезный сигнал, тогда условие правильной регистрации сигнала S_i(t) имеет вид:

(50)

где E_i, E_j – энергия i-й, j-й реализации сигнала соответственно.

Реализовать неравенство (50) можно двумя способами.

Первая оптимальная решающая схема получила название корреляционного приемника. При условии равенства энергий E_i и E_j (такой случай будет, в частности, в двоичном канале с ЧМ и ФМ) и сигналов S₁и S₂:

(51)

При АМ энергия одного сигнала равна нулю (E₂= 0) и условие (50) будет иметь вид:

(52)

Выражениям (51) и (52) соответствует корреляционная обработка сигнала, т. е. находится взаимная корреляция принимаемого и передаваемого сигналов, этим и объясняется название приемника.

Вторая оптимальная решающая схема реализована на согласованном фильтре. Основная суть фильтра, согласованного сигналом S_i(t), в том, что при подаче на его вход любого сигнала U(t) на выходе будет:

(53)

При t₀> T такой приемник эквивалентен приемнику корреляционного типа, и присутствующие в нем схемы называются оптимальными когерентными приемниками. Эта терминология имеет смысл для ВЧ-сигналов вида A_i(t)cos[_it + _i(t)], когда знание всех реализаций таких сигналов означает, что они известны «когерентно», т. е. с точностью до фазы _i(t). Такая же точность обеспечивается и для задержки сигнала  в канале.

Вероятность ошибки P₀ зависит от мощности (или энергии) сигнала и мощности помех (в данном случае «белого шума»). Известную роль играет здесь и вид сигнала, который определяет статистическую связь между сигналами в системе. В общем случае