§ 12. Производная функции.

1. Для функции по определению .

2. Правила нахождения производных.

, , , , где , , .

3. Таблица производных элементарных функций.

С	0

4. Уравнение касательной к графику функции в точке :

.

5. Геометрический смысл производной: , где

- угловой коэффициент касательной к графику функции в точке , - угол, образованный касательной с положительным направлением оси .

6. Физический (механический) смысл производной.

Если - зависимость пути от времени движения тела, то его скорость и ускорение вычисляются по формулам: и .

7. Производная сложной функции: если , то .

8. Производная обратной функции: если и - взаимообратные функции и существуют , , причём , то .

§ 13. Первообразная функции.

1. Определение. Функция называется первообразной для функции на множестве , если для любого верно равенство .

2. - площадь фигуры, ограниченная графиком функции , осью и прямыми , , вычисляется по формуле Ньютона-Лейбница:

.

3. Таблица первообразных элементарных функций.

§ 14. Показательная функция.

1. Определение. Функция вида , где , , называется показательной с основанием .

2. Область определения или - любое число.

3. Множество значений или .

4. Функция непрерывна на всей области определения.

5. График функции проходит через точку и расположен выше оси .

6. Функция убывает при , возрастает при .

7. , где , .

8. Решение простейших показательных уравнений:

, , . В уравнениях, приводимых к квадратным, делают замену переменной , .

9. Решение показательных неравенств: ;

.

Аналогично расписываются неравенства с другим знаком , , в первой строке.

§ 15. Логарифмы и логарифмическая функция.

1. Определение. Логарифмом положительного числа по основанию , ( , ) называется показатель степени , в которую нужно возвести основание , чтобы получить : .

2. Свойства логарифма: , , , .

3. Десятичные логарифмы: , натуральные: ,

4. Основное логарифмическое тождество: , , , .

5. Сумма логарифмов: , , .

6. Разность логарифмов: , , .

7. Логарифм степени: , ; , - чётное целое; , , ; , .

8. Переход к новому основанию: , , .

9. Переход к новому основанию: .

10. ; .

11. Функция вида , где , , называется логарифмической.

12. Область определения и множество значений логарифмической функции : или ; .

Для сложной логарифмической функции область определения задаётся системой условий: , , .

13. Функция непрерывна на всей области определения.

14. График функции проходит через точку и расположен справа от оси .

15. Функция убывает при , возрастает при .

16. Решение простейших логарифмических уравнений:

;

При этом учитывается то неравенство, которое проще.

В уравнениях, приводимых к квадратным, делают замену переменной .

17. Решение логарифмических неравенств:

Аналогично расписываются неравенства с другими знаками , в первой строке.

18. Знак совпадает со знаком произведения : , .