3.2. Общие подходы к количественной оценке рисков

Страховой риск должен быть исчисляемым, поскольку в противном случае страховщик не сможет определить плату за него и не примет этот риск на свою ответственность. Поэтому оценка рисков  один из важнейших вопросов для страховщика. Собственно говоря, «статистический риск» и содержит в своем названии метод оценки  на основе статистики проявления.

Риск оценивается вероятностью p наступления убытка u, математическим ожиданием его величины M (u) и дисперсией D(u). Случайной величиной называют величину, которая в результате опыта (проявления риска) на практике может принимать то или иное значение, причем неизвестно заранее, какое именно.¹³ Случайная величина убытка может принимать значения от 0 (убыток при данном проявлении риска не произошел) до U_max, что соответствует, например, полной гибели имущества и в стоимостном выражении равной его стоимости.

Наиболее полно риск характеризуется законом распределения случайной величины убытка, который устанавливает связь между возможными значениями случайной величины и соответствующими им вероятностями. Для непрерывных случайных величин, а именно к таким величинам относятся убытки и потери от рисков, закон распределения называют интегральной функцией распределения случайной величины

F(U) = P(u<U),

где U – некоторое текущее значение убытка u.

Из интегрального закона распределения случайного убытка путем дифференцирования по переменной U можно получить его функцию плотности, которая позволяет легко рассчитать вероятность наступления того или иного значения убытка.

Закон случайного распределения имущественных убытков для большинства рисков имеет форму убывающей кривой  чем больше величина убытка, тем меньше его вероятность, то есть мелкие убытки встречаются гораздо чаще, чем крупные. Простейший вид зависимости между вероятностью наступления риска и тяжестью его последствий в западной литературе получила название диаграммы или треугольника Хайнриха (рис.1.1)¹⁴.

Рис. 3.1. Треугольник Хайнриха

Для количественной оценки параметров закона распределения используют статистику убытков по виду риска и известные методы статистических расчетов¹⁵. Фактическое распределение случайных убытков получают путем ранжирования статистического материала. При необходимости и для удобства дальнейших исследований убытка эти распределения можно аппроксимировать известными законами распределения случайных величин.¹⁶ Случайное распределение имущественных убытков удобно аппроксимировать следующими законами:

 нормальное распределение;

 логарифмически нормальное распределение;

 распределение Рэлея.

После статистических оценок и исследования риска страховой актуарий рассчитывает соответствующую этому риску цену  страховой тариф (см. главу 4).

В дальнейшем задача андеррайтера будет заключаться, по сути, в проверке принадлежности каждого конкретного, принимаемого на страхование риска к той статистической совокупности проявлений рисков, на основе которой актуарий рассчитал страховой тариф.

Однако не все чистые риски можно назвать статистическими. Встречаются риски редкие, но приводящие к разрушительным последствиям (землетрясения, цунами, ядерные катастрофы и т.п.). Такие риски называют катастрофическими. Статистика таких рисков, в силу их редкости, практически отсутствует, поэтому для количественной их оценки применяют методы аналогий, теории устойчивости систем и другие.

Метод аналогий используется преимущественно для оценки природных рисков. Изучая исторические упоминания о различных, редких природных катастрофах, случившихся в прошлом, можно достаточно точно оценить возможный ущерб от подобных явлений в наше время. Остается открытым вопрос оценки вероятности наступления подобной природной катастрофы. Здесь возможны, по крайней мере, три подхода.

Статистический, предполагающий, что те или иные катастрофические явления образуют единую статистическую совокупность, например, повторяющиеся примерно один раз в 100-120 лет катастрофические наводнения на больших реках. Недостаток  значительная дисперсия и низкая точность статистических оценок в связи с малыми объемами статистической выборки и неоднородностью самого статистического материала.

Математическое моделирование катастрофических явлений на глобальном уровне, например, землетрясений. Недостаток  отсутствие качественной теории явления, нехватка вычислительных мощностей, трудность сбора исходной информации для моделирования.

Раскрытие неопределенности методами «игры с природой», например, при необходимости принятия решения, связанного с риском, количественные характеристики которого определить невозможно Условно этот подход можно отнести к математическому моделированию. Недостаток  низкая точность в связи с заменой неизвестного закона случайного распределения произвольной оценкой случайной величины.

Для оценки вероятности наступления катастрофических аварий на больших, сложных технических системах используются известные методы теории устойчивости¹⁷. В системе выделяются цепочки элементов, отказ (разрушение) которых приведет к разрушению всей системы и причинению, в результате такого разрушения, убыткам для окружающих. Например, разрушение плотины и затопление города в результате выхода из строя аварийного сброса и перелив воды через гребень плотины при резком увеличении уровня воды в водохранилище. Вероятности отказов отдельных элементов можно рассчитать, следовательно, можно рассчитать и вероятность аварии всей системы.

При проектировании сложных систем используют понятие нормативного риска. Для его оценки используют понятие индивидуального приемлемого риска. Индивидуальный риск – риск, которому подвергается жизнь человека при авариях и стихийных бедствиях. Пороговый критерий для индивидуального риска, при котором большинство людей субъективно ощущают себя в полной безопасности, составляет Р_пор =10^-6. Значительная часть людей ощущает беспокойство и тревогу при Р_пор =10^-5. В ряде случаев, для атомных электростанций, значение риска уменьшается до Р_пор =10^-8. Пороговое значение индивидуального риска служит психологическим индикатором для человека.

Убытки от аварии оцениваются с помощью моделирования аварийной ситуации. Сценарии и математические модели аварий разработаны для большинства потенциально опасных технических систем.

Для оценки «качества» или степени риска с точки зрения страхования используют коэффициент вариации, равный отношению среднего квадратического отклонения величины суммарного убытка по страховому портфелю к математическому ожиданию этого убытка. Такой подход, в частности, предложен К. Бурроу. Если портфель однороден, т.е. случайные величины убытков по единичным рискам распределены одинаково, то при увеличении объема договоров в n раз коэффициент вариации уменьшается в раз. Поэтому достаточно рассмотреть ситуацию для одного договора страхования.

Пусть p вероятность наступления страхового случая с убытком u, величина которого распределена по известному закону. Это позволяет рассчитать условные математическое ожидание M(uА) и дисперсию D(uА) убытка, а затем на их основе полные характеристики M(u) и D(u)¹⁸.

M(u) = M(uА) p;

D(u) = D(uА)  p + p(1-p)  [M(uА)²]

Это позволяет оценить степень риска (коэффициент вариации убытка):

____________________________

 D(uА)  p + p(1-p)  [M(uА)²]

 (u) =  (u) / M (u) = ----------------------------------------------------

M(uА) p

Введем условное математическое ожидание убытка под знак квадратного корня и после несложных преобразований получим выражение:

____________________

 (u) =   (u А)² / p + (1-p) / p

Проанализируем его. Если величина убытка при наступлении страхового случая известна и фиксирована, то D(uА) = 0 и  (u) = , откуда следует, что в случае принятия на страхование редких событий, имеющих малую вероятность p, высока степень риска для страховщика получить страховой случай с большой выплатой, особенно если при этом велика страховая сумма.

Таким образом и получен известный коэффициент профессора В.С. Коньшина, оценивающий финансовую надежность страхования:

K = ,

где n  число застрахованных объектов;

T  средний тариф по объектам страхования.

Чем меньше величина коэффициента К, тем надежнее страхование. Отсюда следуют два важных вывода:

1. Чем больше однородных договоров страхования заключил страховщик, тем выше его финансовая надежность.

2. Страховщик с большим объемом страхового портфеля может, при одинаковой финансовой надежности, устанавливать меньшие размеры страхового тарифа за счет меньших колебаний его суммарного убытка относительного математического ожидания (меньшей дисперсии) по сравнению со страховщиком, у которого страховой портфель меньше.