- •Раздел 1 Линейные цепи постоянного тока
- •Глава 1 Основные понятия и законы линейных электрических цепей постоянного тока
- •Глава 2 Расчёт простых электрических цепей
- •Глава 3 Законы Кирхгофа
- •Глава 4 Работа и мощность тока
- •Глава 5 Метод контурных токов
- •Глава 6 Метод узловых напряжений
- •Глава 7 Метод эквивалентного источника
- •Раздел 2 Линейные цепи переменного тока
- •Глава 1 Основные понятия переменного тока
- •Глава 2 Активные и реактивные элементы
- •А ктивное сопротивление в цепи переменного тока
- •Катушка индуктивности в цепи переменного тока
- •Глава 3 Цепи с соединением r, l, c
- •Глава 4 Мощность в цепи переменного тока Мощность в цепи с активным сопротивлением
- •Глава 5 Резонанс
- •Глава 6 Расчёт цепей символическим методом
Глава 4 Работа и мощность тока
Работа электрического тока за время t определяется:
Для постоянного тока i(t) = I = const. Тогда
Мощность тока: P = dW/dt
Для постоянного тока
Приёмниками энергии являются резисторы. Потребляемая мощность их
Источниками мощности являются:
- источники ЭДС - P = ЕI
- источники тока – P = UJ
Из закона сохранения энергии следует баланс мощностей в электрической цепи – сумма мощностей источников равна сумме мощностей приёмников
∑ Рист = ∑ Рпр или
∑ EI + ∑ UJ = ∑ I2R
Здесь нужны важные уточнения.
Резисторы R всегда являются приёмниками и потребляемая ими мощность всегда положительна. Источники тока и ЭДС могут являться и источниками и приёмниками мощности.
Источник ЭДС является источником энергии, если направление ЭДС совпадает с направлением положительного тока через источник ЭДС. Наоборот, - источник ЭДС является приёмником энергии, если направление ЭДС противоположно направлению положительного тока через источник ЭДС.
Источник тока является источником энергии, если направление тока противоположно направлению положи-тельного напряжения через источник тока. Источник тока является приёмником энергии, если направление тока совпадает с направлением положительного напряжения через источник тока.
Уточнённую формулу запишем так:
Баланс мощностей часто используется как проверка правильности расчётов цепи.
Глава 5 Метод контурных токов
Недостатком метода расчёта при помощи законов Кирхгофа является большое число уравнений в системе, что делает решение достаточно сложным. Поэтому были найдены и другие методы расчёта. В них обычно находятся не сами токи в ветвях, а некоторые промежуточные величины, позволяющие затем легко определить токи.
Одним из них является метод контурных токов. Рассмотрим его на примере схемы на рисунке 1.22 – это та же схема, что и на рисунке 1.21.
К онтурный ток – это ток, одинаковый для всех ветвей данного контура. В схеме четыре независимых контура, обозначенных 11, 22, 33, 44. Контурные токи обозначаются двойными индексами: I11, I22, I33, I44 и выбираются точно так же, как по 2-му закону Кирхгофа. Направления обхода контуров, как и направления контурных токов, выбраны в данной схеме все против часовой стрелки.
При наличии в схеме источников тока, расчёт имеет некоторые особенности.
Если ветвь с источником тока входит только в один контур, то этот контурный ток известен и равен J. Это в данном случае ток I44 = J. Для этого контура уравнение не составляется – таким образом, в данном примере система будет иметь 3 уравнения.
Введём ещё несколько новых понятий.
Контурная ЭДС – алгебраическая сумма ЭДС данного контура. В данном примере:
Е11 = Е1 + Е3
Е22 = Е4
Е33 = Е2 - Е3
Собственное сопротивление контура – сумма сопротивлений всех ветвей, входящих в данный контур.
R11 = R1 + R2 + R3
R22 = R3 + R4 + R5 + R7
R33 = R2 + R5 + R6
Для контура 44 с источником тока – эти величины не рассчитываются, так как уравнение не составляется.
Общее сопротивление контуров – сопротивление ветвей, принадлежащим одновременно двум контурам. Обозначается двумя индексами – Rik, где i и k – номера контуров. Важное замечание: если в данной ветви контурные токи текут встречно, - то общее сопротивление контуров берётся со знаком «минус», если же контурные токи текут в одном направлении – то со знаком «плюс».
Чаще всего все контурные токи выбираются в одном направлении (как и в данном примере) и все общие сопротивления отрицательны, так как все контурные токи в общих ветвях направлены встречно. Привыкшие к этому студенты часто автоматически считают эти сопро-тивления отрицательными. Однако, если направления контуров не совпадают – это будет ошибочным.
R12 = - R3 = R21
R13 = - R2 = R31
R14 = 0 = R41
R23 = - R5 = R32
R24 = - R7 = R42
R34 = 0 = R43
Если контура не имеют общих ветвей, то их общее сопротивление равно нулю.
Теперь составляем систему уравнений.
Как было показано, контурный ток I44 = J, R14=R34= 0 и система уравнений примет вид:
Число уравнений в системе такое же, как по второму закону Кирхгофа, т. е. меньше, чем в системе при решении по законам Кирхгофа – только три, а не семь. Для контура с источником тока уравнение не составляет-ся, но этот известный контурный ток учитывается в уравнениях через его общее сопротивление с другими контурами.
Ещё раз отметим: знаки при собственных сопротив-лениях контуров - всегда «плюс», а вот при общих сопротивлениях – в данном случае – «минус», но это только в случае, когда в общих ветвях контурные токи направлены встречно!
Решая систему уравнений, находим контурные токи I11, I22, I33.
Теперь определим реальные токи в ветвях. Если ветвь принадлежит только одному контуру, то контурный ток для неё и является реальным током.
I1 = I11
I4 = I22
I6 = I33
Если ветвь принадлежит нескольким контурам, то реальный ток в этой ветви является алгебраической суммой контурных токов (что следует из первого закона Кирхгофа).
I2 = I11 - I33
I3 = I11 - I22
I5 = I33 - I22
I7 = I22 – J
Итак, порядок расчёта методом контурных токов.
1) Выбираем направления токов в ветвях;
2) Выбираем независимые контура и их направление обхода;
3) Определяем собственные и общие сопротивления контуров;
4) Определяем контурные ЭДС;
5) Составляем и решаем уравнения, из которых находим контурные токи;
6) находим реальные токи в ветвях.
Очевидное достоинство метода контурных токов по сравнению с расчётами по законам Кирхгофа – меньшее число уравнений.