Работа № 10. Решение обыкновенного дифференциального уравнения
Постановка задачи:
Дано обыкновенное дифференциальное уравнение (ОДУ) y' = f(x,y). Известно начальное приближение y(a)=yO.
Требуется на заданном отрезке [a, b] вычислить заданное количество значений функции y =y(x) с точностью = 0.001, 0.0001.
При выполнении работы необходимо:
По номеру варианта, назначенного преподавателем, взять уравнение; отрезок [a,b], начальное условие, точное решение из приведённой ниже таблицы.
Создать программу получения заданного количества точек ( рекомендуется 10 точек) численного решения ОДУ методом, указанным преподавателем, на заданном [a,b], при известном начальном условии y(a)=yO, с заданной точностью eps=0.001 и 0.0001. Для достижения нужной точности использовать автоматический выбор шага. Требования к программе: алгоритм уточнения корня уравнения и вычисление f(x) оформить в виде процедур; ввод и вывод данных сопровождать текстовыми пояснениями.
Решить уравнение с помощью математических программ “Эврика”, MathCAD или MatLab.
Оформить и защитить отчёт.
Контрольные вопросы к работе:
Постановка задачи. Методы решения ОДУ, их краткая сравнительная характеристика.
Метод Эйлера: геометрическая иллюстрация метода; вывод формулы метода; схема алгоритма.
Исправленный метод Эйлера: геометрическая иллюстрация метода; вывод формулы метода; схема алгоритма.
Метод Эйлера модифицированный: геометрическая иллюстрация метода; вывод формулы метода; схема алгоритма.
Метод Рунге-Кутта четвертого порядка: формула метода; схема алгоритма.
Выбор шага при решении ОДУ.
Контрольные задачи к работе:
Дано обыкновенное дифференциальное уравнение вида y'=f(x,y). Известно начальное приближение y(a)=yO.
Требуется на заданном отрезке [a,b] при заданном числе элементарных отрезков n вычислить 1- 3 первые точки функции y=F(x) методами Эйлера или Рунге-Кутта.
Номер вар-та |
Уравнение; отрезок [a,b]; начальное условие; точное решение |
1 |
|
2 |
|
3 |
|
4 |
|
5 |
|
6 |
|
7 |
|
8 |
|
9 |
|
10 |
|
11 |
|
12 |
|
13 |
|
14 |
|
15 |
|
16 |
|
Номер вар-та |
Уравнение; отрезок [a,b]; начальное условие; точное решение |
17 |
|
18 |
|
19 |
|
20 |
|
21 |
|
22 |
|
23 |
|
24 |
|
25 |
|
26 |
|
27 |
|
28 |
|
29 |
|
30 |
|
31 |
|
32 |
|
Номер вар-та |
Уравнение; отрезок [a,b]; начальное условие; точное решение |
33 |
|
34 |
|
35 |
|
36 |
|
37 |
|
38 |
|
39 |
|
40 |
|
41 |
|
42 |
|
43 |
|
44 |
|
45 |
|
46 |
|
47 |
|
48 |
|
Номер вар-та |
Уравнение; отрезок [a,b]; начальное условие; точное решение |
49 |
|
50 |
|
51 |
|
52 |
|
53 |
|
54 |
|
55 |
|
56 |
|
57 |
|
58 |
|
59 |
|
60 |
|
61 |
|
62 |
|
63 |
|
64 |
|
Номер вар-та |
Уравнение; отрезок [a,b]; начальное условие; точное решение |
65 |
|
66 |
|
67 |
|
68 |
|
69 |
|
70 |
|
71 |
|
72 |
|
73 |
|
74 |
|
75 |
|
76 |
|
77 |
|
78 |
|
79 |
|
80 |
|
81 |
|
Номер вар-та |
Уравнение; отрезок [a,b]; начальное условие; точное решение |
82 |
|
83 |
|
84 |
|
85 |
|
86 |
|
87 |
|
88 |
|
89 |
|
90 |
|
91 |
|
92 |
|
93 |
|
94 |
|
95 |
|
96 |
|
97 |
|
98 |
|
99 |
|
100 |
|
Работа № 11. ПОИСК МИНИМУМА ФУНКЦИИ
Постановка задачи:
Дана функция J(x1,x2).
Требуется найти безусловный минимум функции с точностью = 0.001, 0.0001.
При выполнении работы необходимо:
По номеру варианта, назначенного преподавателем, взять функцию из приведённой ниже таблицы.
Создать программу поиска безусловного минимума функции F(X) методом, назначенным преподавателем. Требования к программе: алгоритм поиска минимума и вычисление значения функции J(X) оформить в виде процедур; ввод и вывод данных сопровождать текстовыми пояснениями.
Используя созданную программу, решить систему нелинейных уравнений для своего варианта из работы № 8, сведя задачу поиска решения этой системы к задаче поиска безусловного минимума функции
.Найти минимум функции с помощью математических программ “Эврика”, MathCAD или MatLab.
Оформить и защитить отчёт.
Контрольные вопросы к работе:
Методы многомерной безусловной минимизации. Постановка задачи. Типы рельефов поверхности целевой функции. Классификация методов многомерной минимизации.
Метод покоординатного спуска: геометрическая иллюстрация; схема алгоритма.
Метод сканирования: геометрическая иллюстрация; алгоритм.
Метод случайного поиска: геометрическая иллюстрация; схема алгоритма.
Метод градиентного спуска: геометрическая иллюстрация; схема алгоритма; формула итерационного процесса; условия завершения итерационного процесса. Наискорейший спуск.
Контрольные задачи к работе:
Вычислить модуль градиента целевой функции в указанной точке.
Вычислить новое приближение решения задачи минимизации методом покоординатного спуска или градиентным методом при известном старом приближении и заданном параметре минимизации (шаге h или параметре а).
Изобразить траекторию спуска в точку минимума методом покоординатного или градиентного спуска. Рельеф поверхности целевой функции и начальная точка траектории приведены на рисунке.
Номер вар-та |
Функция J(x1,x2) |
Номер вар-та |
Функция J(x1,x2) |
1 |
J = (x1 - 1)2 + 1.5(x2 + 2)2 |
2 |
J = (x12 – x22)2 + (1 – x2)2 |
3 |
J = (x1 –x2)2 + (2x1 – 20)2 |
4 |
J = (x1 + x2)2 + 9(x2 – 5)2 |
5 |
J = x12 + 2(x22 – 5)2 |
6 |
J = cos2x1 + 2(x2 – 5)2 |
7 |
J = 2x12 + (x1 + x2)2 + 8x22 |
8 |
J = ((x1 – 3)/2)2 + (x1 – x2)2 |
9 |
J = x12 x22+(2,2 – x1)2 |
10 |
J = e |
11 |
J = (x1 – x2 + 5)2 + (1 + x1)2 |
12 |
J = x12 + (5 + x1x2)2 + x22 |
13 |
J = x12/5 + (x22 – 2)2/4 + 1 |
14 |
J = (x12+9)/5 + (x22+x12)/8 + 21 |
15 |
J = 2(x1+1)2 + (x1x2)2 + (x2–1)2 |
16 |
J = (x1 + x2)4 + (x2 – 7)2 + 3.9 |
17 |
J = (x1 – 2)2 + 1.5(x1 – 9x2)2 |
18 |
J = (x1+2x2–18)2 + (0.5–x2)2 |
19 |
J = ((x1+x2–2)/5)2 + (x22–25)/9.7 |
20 |
J = (x1 + x2 – 5)2 + (x1 + 2)2/7 |
21 |
J = (x12 + x24)/5 + (x2 – 1)2/9 |
22 |
J = ln2((x1–x2)2 + (x2–20)2 +5) |
23 |
J = (x12 – x2)2 + (1 – x1)2 + 9.3 |
24 |
J = x12 + 2x22 + (4.5x1x2 + 2)2 |
25 |
J = (x1 – x2)2 + ((x1 +x2 –10)/3)2 |
26 |
J = (x12 + 19)2/9 + (x2 – 5)2/6 |
27 |
J = (x2+1)2/3.33 + (x1–1.5)2/4+ 2 |
28 |
J = e |
29 |
J = 10x12 +2x22 +(5x1 + 1)2 |
30 |
J = (x22–100)2 + (x12–x2+5)2+1 |
31 |
J = (x1 – lnx2)2 + 2.4x12 + 9 |
32 |
J = (1–x1–2x2)2 + 2(x2–9.3)2 |
33 |
J = ln2x1 + (5 – x1 – 2x2)2/11 |
34 |
J = (x1
– e |
35 |
J = (x1 – 5)2 + (x2 – x1 – 25)2 |
36 |
J = sin2(x1 +1) + cos2(x2 + 2) |
37 |
J = e |
38 |
J = (x1 + 1)2/4 + (x1 + 2x2 + 4)2 |
39 |
J = 2x12/5+0.5(x1x2)2+9(x2 – 1)2 |
40 |
J = x12/6 + sin2x1x2 + (x2 – 2)2 |
41 |
J = 10 |
42 |
J = (x12+2x1)2/5+(x22–2x2)2/10 |
43 |
J = (x12–5x1)2/2 + (x22+10x2)2/3 |
44 |
J = (x1 – 3)2 + ln2x2 + 10.5 |
45 |
J = (x1–9)2 + ((x1+x2+1)/2)2 + 9 |
46 |
J = 7.8(x1–1.5)2 + 2(2–x2)2 + 3 |
47 |
J = ln2(2 – x1) + (x1 – 0.2x2)2 |
48 |
J = (x1 – 25x2)2 + ln2(0.5 – x2) |
49 |
J = (7x1–2.5)2+(x1–12x2)2 + 8 |
50 |
J = ln2(2–x1) + ln2(4–2.3x2)+ 5 |
)2
+ (lnx1
– x2)2
ln22x2
+ 4(x12
+ x22)
+
(x1
+ x2
–20)2
+ x22
Номер вар-та |
Функция J(x1,x2) |
Номер вар-та |
Функция J(x1,x2) |
51 |
J = 4x12 + 8(x1-x2)2 + 4x22 + 3 |
52. |
J = (x1 – 2x2 – 4)2 + (5 – 2x1)2 |
53 |
J = 40(1,5–x1)2+(x1+x2)2+ 20x22 |
54 |
J = (0,5x12 + x1)/2 +(x22+0,2x2)/3 |
55 |
J = (lnx1–20)2 + (x1+2x2)2 + 50 |
56 |
J = exp(4x12) – 4(x1-x2)2 + x22 |
57 |
J = e |
58 |
J = 100(x2 – x13)2 + (2 – x1)2 |
59 |
J = (1.5 – x1(1 – x2))2 + (x1 + 5)2 |
60 |
J = (2.6–x2(1–x13))2 + (x2–5)2 |
61 |
J = 20x12 – 40(x1x2)2 + 20x22+17 |
62 |
J = (x1 – lnx2)2 + (3x2 – 0.8) |
63 |
J = (x1 – 2)2 + (x1 – 2lnx2)2 |
64 |
J = (x1 – x2)2 + (x2 + 19.8)2 + 7 |
65 |
J = (x1-e |
66 |
J = x12/5 + (x2 – 5)2/4 + 3 |
67 |
J = (2x1–9)2+((2.9x1–0.7x2-2)2)/7 |
68 |
J=sin2(x1+ |
69 |
J = (2x1 – 3)2 + (4x2 – 5)2 + 100 |
70 |
J = (x2 – 7x1 + 3)2 + (8 – x1)2 |
71 |
J = e |
72 |
J = (25 –x2(2-x1))2 + (x1(3-x2))2 |
73 |
J = ln2(2(x1 + x2)2 + (x1x2)2) |
74 |
J = (x2+6.3)2/3.3+(x1-1.5x2)2/4 |
75 |
J = (2-x1(1-x2)3)2 + (3-x2(7-x12))2 |
76 |
J = 33(x2-x13)2 + (1-x1)2 |
77 |
J = (4-2x1-0.5x2)2/8 + ln2x2 |
78 |
J = (20x1+x2)2
+ 10 |
79 |
J = x12x22(105 – x2)2 |
80 |
J = (7x1-2.9)2 + 0.75(x1-1.1x2)2 |
81 |
J = sin2(x1-2) + sin2(2x1-x2+1) |
82 |
J = x22 + 4(x1-7.5)2 |
83 |
J = (1.5-x2)2 + 0.1(x1x2)2 + 40x12 |
84 |
J = (x1-2,5)2 + (x2 - x1-3,1)2 |
85 |
J = ln2((x1-2)2+(x1-x2-8)2) |
86 |
J = (x2-lnx1)2 + (x1-e )2 |
87 |
J = ln2(2-x2) + (x2-3x1)2 |
88 |
J = e |
89 |
J = (5-x1(1-x23))2 + (x1-3)2 |
90 |
J = cos2(x1-2) + 0.1(x2-0.3)2 |
91 |
J = (x12-10.8)2 + (x2-1,3x1)2 + 1 |
92 |
J = (x1-5)2 + ln2(x2+7.6) + 3 |
93 |
J = (x2-lnx1)2 + (2x1-8.3)2 |
94 |
J = 90(1-x1)2+(x1x2)2+105(x2-7)2 |
95 |
J = e |
96 |
J = (x1+x2-4)2 + (x1+12)2/7 |
97 |
J = x12(1.5-x2)2 + x22(x1-7)2 |
98 |
J = (x1-4.5)2 + (7x1-2x2+13)2 |
99 |
J = ln2((x1-3.3)2 + (x1-x2+6)2) |
100 |
J = (x1-lnx2)2 + 2(x2-7.3)2 |
(lnx2
– 5)2
+ (x1
– 8)2
)2+(lnx1–x2)2+(10–x1)2
)+cos2(x2-
)+2
