Лабораторна робота № 5 чисельне інтегрування

Мета роботи – навчитися застосовувати чисельні методи обчислення визначених інтегралів різних функцій.

5.1 Теоретичні положення

Визначений інтеграл

a

S = ∫F(x)dx /5/

b

може бути обчислений аналітично для заданої функції, безперервної на відрізку, якщо відома первісна функція, що інтегрується. У тих випадках , коли первісна функції, що інтегрується, складна і визначення її скрутне або неможливо, або функція, що коли інтегрується, задана таблично, доцільно обчислити визначений інтеграл чисельними методами.

Для чисельного інтегрування функції використовуються наближені формули виду

n

S = C_iF_i /6/

I=1

де n – кількість відрізків інтегрування;

C_i - коефіцієнт, обумовлений формулою чисельного інтегрування;

F_i = F(x_i) - дискретні значення аргументу.

5.1.1 Формула прямокутників

Площа прямокутника для елементарної ділянки дорівнює: F_i (x_i+1 - x_i )

Площа всіх прямокутників на відрізку (a,b) для n ділянок є:

n-1

S = F_i (x_i+1 - x_i )

i=0

Якщо значення аргументів змінюються рівномірно, то маємо:

n-1

S = F_i h

i=0

де h = (b-a)/n.

Більш точне значення інтегралу будемо мати, якщо в якості F_i візьмемо значення функції посередині кожної ділянки: F_i = F ((x_i+1 - x_i )/2). А для рівновіддалених значень аргументів маємо F_i =F(a+h(i+0.5))

5.1.2 Формула трапецій

Площа трапеції для елементарної ділянки визначається формулою:

(F_i+1 + F_i)( x_i+1 - x_i )/2.

Якщо просумувати площі всіх ділянок, то отримаємо:

n-1

S = (F_i+1 + F_i)( x_i+1 - x_i )/2

i=0

Для рівновіддалених значень аргументів маємо:

n-1

S = h(F_i +(F₀ + F_n )/2)

i=1

5.1.3 Формула парабол (Сімпсона)

Площа двох елементарних ділянок для рівновіддалених значень аргументів має вигляд:

h*(F_i + 4 F_i+1 + F_i+2 )/3

Тут кількість відрізків повинна бути парна. Якщо просумувати площі всіх m ділянок (m = n/2), одержимо:

m m-1

S = h(F₀ +4F_2i-1 + 2F_2i + F_n )/3

i=1 i=1

5.2 Індивідуальні завдання до лабораторної роботи №5

Скласти програму для обрахунку визначеного інтегралу для вказаних формул інтегрування. Використати різні циклічні оператори для кожного методу.

Значення параметрів свого варіанту взяти із таблиці 2

У цій таблиці номер варіанту розташований у першому стовпчику. У наступному приведена підінтегральна функція. У колонках A та B зазначені границі інтегрування. Порівняти результати отримані різними методами.

Лабораторна робота № 6 точність чисельного інтегрування

6.1 Теоретичні положення

Похибку інтегрування можна оцінити. Наприклад, у формулі трапецій вона має такий вигляд:

R = -Pnh³/12,

де P –максимальне значення похідної другого порядку на відрізку (a,b).

Для формули Сімпсона похибка визначається складніше:

R = -Pmh⁵/90,

де P –максимальне значення похідної четвертого порядку на відрізку (a,b).

При обчисленнях інтегралу з використанням комп’ютера доцільно визначати абсолютну величину різниці двох значень визначеного інтегралу із кількості шагів n і з подвійною кількістю шагів 2n:

| S_n – S_2n | = ze

де z=3 для формул прямокутників і трапецій ,

z=15 для формули Сімпсона;

e- похибка.

Для досягнення заданої точності обчислення необхідно подвоювати значення n , поки значення w не буде менше, ніж задана точність e.

Значення w знаходимо так:

w = | S_n – S_2n |/z

Початкове число кроків n варто вибрати від 10 до 50.

Для обчислення визначеного інтеграла можна використовувати блок - схему мал.5.

Тут блок 2 фіксує уведення вихідних даних. У наступному блоці задаємо початкове значення визначеного інтегралу S при кількості відрізків, рівному n. Блок 4 – це початок циклу з параметром К, що обмежує кількість повторень. У даному випадку десятьма. У циклі обчислюється подвоєне значення n, величина визначеного інтеграла S одним із зазначених методів і різницею W між новим і попереднім значенням інтегралу: | S_n – S_2n |. Розраховуємо отриману похибку w .

Блок 6 перевіряє закінчення процесу обчислень S. Якщо отримане значення W менше, ніж задана похибка e, завершуємо цикл. У протилежному випадку нове значення інтегралу запам'ятовується і процес обчислення інтегралу з подвоєною кількістю шагів продовжується, але не більш 10 разів. Після виходу з циклу результати виводяться.