Дифракция электронов на кристаллах

Цель работы: изучение статистических закономерностей процесса дифракции электронов с применением компьютерной модели явления; проверка соотношения де Бройля; знакомство с принципами электронографии; определение межплоскостных расстояний и индексов Миллера кристаллической решетки на основе компьютерных электронограмм.

Теоретическое введение

В соответствии с гипотезой Луи де Бройля (1923 г). корпускулярно-волновой дуализм присущ не только электромагнитному излучению, но и частицам вещества: электронам, протонам, атомам, молекулам и др. Иначе говоря, движущейся частице ставится в соответствие некоторый волновой процесс. В частном случае частице, движущейся с постоянной скоростью, сопоставляется плоская монохроматическая волна, называемая волной де Бройля и описываемая функцией

, (1)

где и – ее частота и волновой вектор.

Полная энергия частицы и ее импульс связаны с характеристиками волны де Бройля соотношениями, называемыми уравнениями де Бройля:

, (2)

. (3)

Модуль волнового вектора связан с длиной волны де Бройля соотношением

. (4)

Из выражений (3) и (4) легко найти соотношение

, (5)

формально совпадающее с соответствующим выражением для фотонов.

Найдем длину волны де Бройля для электронов, ускоренных электрическим полем. Электрическое поле совершает работу по перемещению электрона между точками с разностью потенциалов V, вследствие чего электрон приобретает кинетическую энергию

(6)

и импульса p, который в нерелятивистском приближении может быть выражен через кинетическую энергию в соответствии с формулой

(7)

где е и m – заряд и масса покоя электрона. Подставляя (7) в (5), получим выражение, применимое для определения длины волны де Бройля нерелятивистского электрона:

. (8)

Используя формулу (8), легко убедиться, что для электронов с энергией от 1 до 1000 эВ длина волны де Бройля лежит в пределах от 1,00 до 0,01 нм, т. е. в интервале длин волн, соответствующем рентгеновскому излучению. Поэтому в тех же условиях, при которых наблюдается дифракция рентгеновских лучей (например, при их рассеянии на кристаллах, представляющих собой естественную дифракционную решетку), следует ожидать проявления волновых свойств и у электронов соответствующей энергии.

Действительно, вскоре после предсказания де Бройля дифракция электронов на кристаллах была обнаружена экспериментально американскими физиками Дэвиссоном и Джермером, а также независимо от них английским физиком Томсоном. Несколько позже наблюдалась дифракция нейтронов, атомов и молекул.

В данной лабораторной работе исследуется дифракция электронов, энергия которых составляет десятки КэВ – их скорость нельзя считать пренебрежимо малой по сравнению со скоростью света. В этих условиях импульс следует вычислять по релятивистским формулам:

(9)

(10)

где E – полная (т.е. включающая энергию покоя) энергия электрона.

Исключая E из (9) и (10) и учитывая соотношение (6), находим

. (11)

Подставляя (11) в (5), получим релятивистское выражение для длины волны де Бройля:

(12)

Здесь  нерелятивистское выражение для длины волны де Бройля.

Волнам де Бройля соответствует статистическая интерпретация –квадрат модуля волновой функции (1) есть плотность вероятности обнаружить рассматриваемую микрочастицу в точке пространства, определяемой относительно начала используемой системы координат радиус-вектором в момент времени . Вероятность обнаружения частицы в элементарном объеме в окрестности этой точки в момент времени определяется следующим образом:

Рассмотрим метод наблюдения дифракции электронов, предложенный в 1927 г. Дж. П. Томсоном. Этот метод лежит в основе устройства одного из современных вариантов электронографа (рисунок 1).

Рисунок 1 – Дифракция электронов на фольге

Электронная пушка (1) формирует тонкий пучок электронов, ускоренных напряжением в несколько десятков киловольт. Электроны проходят через исследуемый тонкопленочный образец (2), а затем регистрируются с использованием флюоресцирующего экрана или фотопластинки (3). В результате на фотопластинке образуется дифракционная картина в виде системы концентрических колец, называемая электронограммой.

Описание наблюдаемого явления выполняется в рамках квантовомеханического (вероятностного) подхода. Исходное волновое поле (Ψ- функция электрона – падающая волна де Бройля) рассеивается на всех частицах, составляющих кристалл. Рассеянные кристаллом вторичные -волны в одних направлениях усиливают, в других – гасят друг друга. При этом вероятность попадания электрона в ту или иную точку на поверхности фотопластинки пропорциональна квадрату модуля волнового поля (суперпозиции всех вторичных -волн) в данной точке. Положение максимумов дифракционной картины удовлетворяет условию Вульфа - Брэгга

, (13)

где – межплоскостное расстояние кристаллической решетки,  порядок дифракционного максимума, – угол дифракции, – длина волны де Бройля, сопоставляемой электронам.

Радиус дифракционного кольца связан с соответствующим межплоскостным расстоянием. Анализируя чертеж, представленный на рисунке 1, видим, что

, (14)

где L – расстояние от образца до фотопластинки. Учитывая, что, как правило, угол  мал, можно воспользоваться соотношением

_{и выразить из (14) угол θ:}

_{. (15)}

Подставляя выражение (15) в условие Вульфа-Брэгга (10), получим формулу для определения межплоскостного расстояния кристалла

(16)

Дифракция электронов в веществе является физической основой электронографии – метода изучения структуры вещества, который основан на рассеянии исследуемым образцом ускоренных электронов. Электронография широко применяется для изучения атомной структуры кристаллов, аморфных тел и жидкостей, а также (структуры молекул или отдельных молекул?) молекул в газах и парах.

Электронографические исследования проводят на специальных приборах – электронографах. В них в условиях высокого вакуума электроны ускоряются электрическим полем, фокусируются в узкий интенсивный пучок, а дифрагированные пучки, образующиеся после прохождения через образец, фотографируются (при этом образуются электронограммы) или регистрируются фотоэлектрическим устройством. По существу, дифракция в электронографах реализуется в соответствии со схемой, приведенной на рисунке 1.

Интенсивность и пространственное распределение дифрагированных пучков находятся в строгом соответствии с атомной структурой образца, размерами и ориентацией отдельных кристалликов и другими структурными параметрами. Вся эта информация может быть извлечена в результате анализа электронограмм. Методом электронографии исследована атомная структура огромного числа веществ, существующих только в мелкокристаллическом состоянии. Преимущество электронографии перед рентгеновским структурным анализом состоит в возможности определения положения легких атомов в присутствии тяжелых.

Одна из простейших задач электронографии – определение межплоскостных расстояний , а также индексов Миллера кристалла (h, k, l) на основе измерения радиусов дифракционных колец на электронограмме тонкопленочного образца.

Положение плоскости в кристалле принято задавать тремя целыми числами, которые носят название индексов Миллера. Индексы Миллера представляют собой величины, обратные длинам отрезков, отсекаемых выделенной кристаллографической плоскостью на осях координат. Для кристаллов с кубической решеткой соотношение, связывающее межплоскостное расстояние d с индексами Миллера, имеет вид:

, (17)

где а – длина ребра элементарной кубической ячейки.

В некоторых условиях электронограммы состоят из отдельных пятен, симметрично расположенных на концентрических окружностях. Такие «пятнистые» электронограммы характерны для пленок с упорядоченным расположением микрокристаллов. Обычно такие пленки формируются при кристаллизации вещества из пара на подогретой металлической подложке. Электронограммы, характерные для аморфных пленок, имеют вид сильно размытых сплошных концентрических колец.

В настоящей лабораторной работе описанный выше интерференционно-вероятностный механизм формирования электронограммы в соответствии с методом Томсона (рисунок 1) моделируется с использованием компьютерных средств; при этом предполагается, что электроны направляются на тонкопленочный образец по одному.

Компьютерная программа, предназначенная для реализации поставленной цели, функционирует следующим образом. Генератор случайных чисел последовательно определяет полярные координаты заданного количества точек, каждая из которых соответствует попаданию на экран электрона, испытавшего дифракцию на тонкопленочном образце. После каждого срабатывания генератора случайных чисел осуществляется коррекция радиальной координаты, в результате чего точка попадания электрона, отображаемая на экране графического дисплея, оказывается или в центральном кружке, или в одном из колец электронограммы. Точки, локализованные в центральном кружке, соответствуют электронам, которые при прохождении через образец испытали дифракцию в направлении θ = 0 (дифракционный максимум нулевого порядка), когда вторичные Ψ-волны имеют ту же фазу, что и падающая на образец Ψ-волна.

По мере увеличения количества испущенных электронной пушкой прибора «электронов-точек» на экране монитора все более отчетливо проступают дифракционные кольца, соответствующие структуре реальной электронограммы (в данной лабораторной работе – электронограммы железа). В программе влияние ускоряющего напряжения на масштаб электронограммы учтено в соответствии с фундаментальным соотношением де Бройля (5) и формулой (15).

Вопросы для самоконтроля

1. На основе каких экспериментальных фактов возникли представления о корпускулярно-волновом дуализме излучения и вещества?

2. От чего зависит длина волны де Бройля? Получите выражение, определяющее зависимость электрона от ускоряющего напряжения V в нерелятивистских и релятивистских условиях.

3. В чем состоит вероятностная интерпретация волновой функции?

4. Выведите условие Вульфа - Брэгга. Что означает термин «порядок дифракции»?

5. Поясните сущность метода Томсона по наблюдению дифракции электронов.

6. Получите выражение для радиуса дифракционного кольца на электронограмме.

7. Как проявляется статистический характер дифракции электронов?

8. Каковы основные принципы и практическое значение электронографии?