9

Уо «Гомельский государственный университет им. Ф. Скорины»

Физический факультет

Кафедра общей физики

Лабораторная работа № 4

ОПРЕДЕЛЕНИЕ МОМЕНТА

ИНЕРЦИИ ТЕЛА МЕТОДОМ КРУТИЛЬНЫХ КОЛЕБАНИЙ

Лаборатория «Механика»,

«Молекулярная физика и теплота»

ауд. 6 – 11

.

Лабораторная работа № 4

Определение момента инерции тела

и проверка теоремы Штейнера

методом крутильных колебаний

Лабораторная работа № 4

Определение момента инерции тела

методом крутильных колебаний

Цель работы:

1) ознакомиться с понятием момента инерции I и методами его определения;

2) изучить метод крутильных колебаний для определения момента инерции тела;

3) применить метод крутильных колебаний для экспериментального определения момента инерции твердого тела.

Приборы и принадлежности: установка, секундомер, штангенциркуль, линейка, образцы для измерений.

Теоретическое обоснование

Момент инерции является мерой инертности тела по отношению к вращательному движению; он играет роль, аналогичную роли массы при поступательном движении. Моментом инерции материальной точки относительно какой-нибудь оси вращения называется величина

(4.1)

где m – масса материальной точки,

R – расстояние точки от оси вращения.

Единица измерения в системе СИ: [I] = кгּм².

Момент инерции твердого тела относительно некоторой оси вращения равен сумме моментов инерции элементарных масс, составляющих данное тело:

(4.2)

при непрерывном распределении масс: . (4.2^/)

Т.о. момент инерции тела зависит от его массы и распределения массы относительно данной оси вращения. Моменты инерции однородных тел правильной геометрической формы относительно оси, проходящей через центр масс тела, вычисляются дифференциально-интегральным методом и приводятся в справочных таблицах. Некоторые из них приведены в таб.4.1.

Таблица 4.1 – Значения моментов инерции однородных тел правильной геометрической формы.

№ п/п	Твердое тело	Положение оси вращения	Момент инерции
1.	Сплошной однородный цилиндр (диск, стержень) массой m радиуса r	совпадает с осью симметрии ┴ основанию
2	Сплошной однородный цилиндр(диск, стержень) массой m радиуса r	проходит через центр масс || основанию (совпадает с диаметром)
3.	Полый однородный цилиндр (диск, стержень) радиуса r	ось вращения совпадает с осью симметрии ┴ основанию
4.	Шар радиуса r, массой m	через центр шара
5	Стержень сплошной	через центр масс || основанию

Момент инерции системы тел является аддитивной величиной:

,

где - моменты инерции тел, составляющих данную систему.

Вычисление момента инерции неоднородного твердого тела произвольной формы относительно какой-либо оси часто представляет собой довольно сложную математическую задачу, иногда нерешаемую. Задача по определению момента инерции таких тел является актуальной.

Одним из методов экспериментального определения момента инерции твердых тел является метод крутильных колебаний.

Платформа, имеющая форму диска, может совершать крутильные колебания относительно вертикальной оси, проходящей через ее середину. При этом центр тяжести платформы перемещается вдоль оси вращения. Пусть платформа массы , вращаясь в некотором направлении, поднялась на высоту h=OO₁ (рис. 4.1) от положения равновесия. Тогда ее потенциальная энергия в этом положении будет равна

где g – ускорение силы тяжести.

Предоставленная самой себе платформа возвращается в положение равновесия. При этом ее потенциальная энергия переходит в кинетическую энергию вращательного движения. При прохождении положения равновесия, платформа будет иметь максимальную угловую скорость ω₀ и соответственно максимальную кинетическую энергию

где I – момент инерции платформы относительно оси вращения перпендикулярной основанию платформы.

Пренебрегая работой сил трения, на основании закона сохранения механической энергии запишем

(4.3)

Определим h и ω₀ и подставим в (4.3). При малой амплитуде и небольшом количестве колебаний платформы их можно считать гармоническими. Следовательно, зависимость углового смещения φ от времени t описывается формулой

(4.4)

где А – амплитуда- (максимальный угол поворота платформы),

Т – период колебаний (время одного колебания).

Угловую скорость ω, как функцию времени, можно найти согласно определению угловой скорости (угловая скорость есть производная углового смещения φ по времени):

Из (4.4) получим

Максимальное значение угловой скорости ω_мах= ω₀ , соответствующее моменту времени, когда платформа проходит через положение равновесия и

(4.5)

Полученное значение max угловой скорости ω₀ подставим в выражение (4.3). Высоту будем искать из геометрических соображений.

Рисунок 4.1

Из рис. 4.1. видно, что

но

Поэтому