1.3.5Сравнение различных систем счисления с точки зрения их применения в эвм

Введенные ниже оценки эффективности использования в ЭВМ различных систем счисления применимы, в основном, к естественным системам с натуральным основанием. Они далеко не охватывают всех аспектов, связанных с упомянутой эффективностью, поскольку относятся лишь к представлению информации в ЭВМ и производству в ней отдельных арифметических операций. Следует помнить также, что эти оценки несут сугубо приближенный характер и сильно зависят от выбранной элементной базы, алгоритмической и схемной реализации соответствующих вычислительных процедур.

Оценим прежде всего количество оборудования, необходимого для представления в ЭВМ чисел в различных системах счисления. Пусть - число этих чисел (при представлении целых положительных чисел под можно понимать максимальное представимое число). Тогда для их записи в системе с основанием потребуется разрядов, где

Интуитивно чувствуется, что сложность представления чисел в ЭВМ можно охарактеризовать величиной . Действительно, для представления произвольной цифры в заранее заданном разряде необходимо тем больше единиц оборудования, чем больше S. Правда, прямая пропорциональность между числом единиц оборудования, затрачиваемых на один разряд, и значением S на практике отсутствует, но для грубой оценки можно предположить, что это имеет место. Тогда величина характеризует общие затраты оборудования в рассматриваемом случае.

Для исключения произвольной величины введем относительную функцию затраты оборудования

. (3.7)

При соотношение (3.7) можно переписать в виде

.

Легко показать, что имеет минимум при S=e. Её значения для некоторых целых S приведены в табл. 3.11.

3.11

Как видим, наименьшие затраты оборудования имеют место при S=3. Относительно небольшие потери по сравнению с оптимальным случаем получаются при использовании оснований 2 и 4. При основании же S=10 затраты оборудования на 50% больше, чем при S=2.

В формуле предполагается, что для представления информации в одном разряде требуется S единиц оборудования. Практически для этих целей наиболее часто используется двухпозиционных элементов и двоичное неизбыточное кодирование цифр. Тогда число таких элементов для представления различных чисел

а соответствующая относительная оценка

.

Значения приведены в табл. 3.11. Как видим, наибольшую экономию в числе двухпозиционных элементов дают системы с основаниями 2,4,8. При S=10 затраты элементов только на 20% больше, чем при S=2. Если , то , что свидетельствует о целесообразности использования для целей представления информации систем с большими основаниями при двоичном кодировании их цифр. Легко заметить, что при S>6 . Следовательно, в этом случае выгоднее применять двухпозиционные элементы, чем S-позиционные, если последние в S/2 раз сложнее первых.

Интересно также оценить влияние значения S на время выполнения арифметических операций сложения и умножения (вычитание по затратам времени эквивалентно сложению, деление же в ЭВМ используется довольно редко). Однако при оценке влияния величины S на время сложения чисел в ЭВМ пришлось бы затронуть структурные схемотехнические вопросы, что преждевременно. То же справедливо и для операции умножения, поскольку умножение в машинах сводится к последовательности сдвигов и сложений кодов чисел, участвующих в операции. Тем не менее, для одного частного случая суммирования чисел, когда время выполнения последнего не зависит от S, и наиболее распространенного алгоритма умножения такую оценку получить можно.

Предположим, что реализуется следующий алгоритм умножения: при анализе очередного разряда множителя множимое прибавляется к содержимому сумматора столько раз, какова цифра множителя; далее содержимое сумматора сдвигается на один разряд вправо, анализируется следующий старший разряд множителя, и процедура повторяется.

Если положить, что появление в каждом разряде множителя любой цифры от 0 до S-1 равновероятно, то среднее число сложений при умножении на один разряд множителя равно (S-1)/2, общее число сложений, необходимых для перемножения двух чисел в системе с основанием S при фиксированном М,

а соответствующая относительная оценка

. (3.8)

Величина показывает, во сколько раз количество сложений в системе с основанием S в среднем больше, чем в системе с основанием 2. Если далее принять, что время сдвига равно 0, а время сложения не зависит от S, то соотношение (3.8) характеризует относительные затраты времени на умножение. Значения приведены в таблице 3.11. Как видно из таблицы, для рассматриваемого алгоритма умножения при S=2 затраты времени минимальны.

Выполнение операции умножения в ЭВМ можно ускорить, если анализировать несколько разрядов множителя одновременно. Специальные исследования показали, что при этом предпочтение следует отдать канонической двоичной системе счисления.

Все вышеизложенное не позволяет, конечно, раз и навсегда определить систему, наиболее целесообразную для использования в ЭВМ. Применение отдельных систем (например, симметричной троичной) тормозит элементная база, в других случаях (системы счисления в остаточных классах) не закончено решение алгоритмических и структурных вопросов. Кроме того, сколько-нибудь исчерпывающий перечень требований, которым должна отвечать система счисления при ее использовании в ЭВМ настолько велик, что выполнить их все одновременно просто невозможно. Так, к примеру, сторонники единой мировой системы счисления выдвинули идею о переходе при всех измерениях и расчетах на систему счисления с основанием 12, так как основание 12 имеет наибольшее число различных делителей по сравнению с другими небольшими по величине основаниями, близкими к 10, и следовательно, в этой системе будет записываться в конечном виде большее число дробей. Исследования в этом направлении будут продолжаться.

В настоящее время во всех ЭВМ используется двоичная система счисления. При этом в качестве служебных используются, как правило, восьмеричная, десятичная, шестнадцатеричная и двоично-десятичная системы. Все рассмотренные выше оценочные функции дают для неё хорошие результаты. Следует отметить также простоту выполнения в этой системе всех арифметических и логических операций, возможность широкого применения для анализа и синтеза двоичных схем хорошо разработанного аппарата математической логики, развитую двоичную элементную базу, отличающуюся высоким быстродействием и надежностью. Вместе с тем следует отметить, что в машинах, имеющих невысокую производительность, частый ввод и вывод данных и ориентированных на решение бухгалтерских, экономических, информационных и других задач, часто применяется восьмеричная или десятичная система счисления. Известны ЭВМ, в которых двоичная и двоично-десятичная системы используются в качестве основных систем одновременно, а также существуют ЭВМ, работающие в троичной симметричной, минус двоичной, ССОК и других системах.