2. Рівняння рівноваги рідини та їх фізичне розуміння.

Розглянемо рідину, яка знаходиться у рівновазі (рис. 3). Для цього у просторі рідини виберемо систему координатних вісей х, у, z з центром у точці 0 і зафіксуємо довільну точку А с координатами х, у, z. Навколо точки А виділимо нескінченно малий паралелепіпед 1-2-3-4-5-6-7-8 з нескінченно малими сторонами dx, dy, dz так, щоб точка А знаходилася в центрі паралелограма. Гідростатичний тиск, який діє у точці А, позначимо як р. Виділений паралелепіпед буде знаходитися в рівновазі в тому випадку, якщо сума проекцій усіх діючих зовнішніх сил на будь-яку координатну вісь буде дорівнювати нулю.

Встановимо зовнішні сили, які діють на паралелепіпед. Як звісно, зовнішні сили можуть бути поверхневими і масовими. Зовніш­німи силами тут є: сили гідростатичного тиску, які діють на грані паралелепіпеда зі сторони оточуючого середовища, і об'ємні сили, пропорційні масі паралелепіпеду.

Рис. 3 Схема до виводу рівнянь рівноваги рідини.

Позначимо через X, Y, Z проекції всіх масових сил, які віднесені до одиниці маси, на координатні вісі x, y, z. Тоді проекція об'ємних сил на вісь х буде дорівнювати:

dQ_x =X·dМ,

де dМ = dx·dy·dz·ρ.

Отже:

dQ_x =X·dх·dy·dz·ρ.

Аналогічним шляхом визначаються проекції масових сил на координатні вісі, y і z, що залишилися.

Визначимо поверхневі сили, тобто сили гідростатичного тиску, що діють на грані паралелепіпеда. Розглянемо сили, що діють на вертикальні грані 1-2-3-4 і 5-6-7-8. Відповідно до першої властивості гідростатичного тиску, ці сили спрямовані по внутрішній нормалі, тобто діють уздовж вісі х. Проведемо через точку А пряму, яка рівнобіжна вісі х, до перехрещення із гранями 1-2-3-4 і 5-6-7-8. Тим самим визначимо точки В і С прикладення гідростатичного тиску.

Позначимо гідростатичні тиски, що діють у точках В і С відповідно через р_в і р_с. Тому що в рідкому середовищі гідростатичний тиск змінюється по лінійному закону, тиск в точках В і С буде виражатися:

де - приватна похідна від р по х, що характеризує зміну тиску на одиницю довжини тільки уздовж вісі х, а - прирощування тиску на відстані , тобто від точки А до грані 1-2-3-4 чи 5-6-7-8.

Гідростатичний тиск у точках В і С може розглядатися як середній, тому що площадки 1-2-3-4 і 5-6-7-8 є нескінченно малими. Отже, можна встановити сили гідростатичного тиску, що діють на зазначені грані

Тепер, коли визначені сили, що діють на паралелепіпед, напишемо умову рівноваги його відносно вісі х:

.

Проекції всіх інших сил гідростатичного тиску, що діють на інші грані, будуть дорівнювати нулю, а тому в рівняння не ввійдуть. Підставимо в рівняння рівноваги значення добутків:

.

Після приведення подібних і скорочення на отримаємо:

.

Аналогічним шляхом можна одержати рівняння рівноваги щодо осей у і z:

; .

Система рівнянь:

(4)

показує, що прирощування тиску в напрямку будь-якої координатної вісі дорівнює добутку густини на проекцію результуючих масових сил (результуюче прискорення) на ту ж вісь, тобто прирощення тиску у нерухомій рідині відбувається за рахунок масових сил.

Ці рівняння і являють собою загальні умови рівноваги рідини у диференціальній формі, які виведені в 1755 році Л. Ейлером.